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Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur

Posté par
Vaartz 27-01-24 à 07:08

Bonjour,
Je suis nouveau et vous mon tout premier poste alors je vous salue tous.

Notre prof nous a donné un exo et c'est assez casse-tête.
Voici l'énoncé:

Une montre fait une erreur d'au plus 30 secondes par jour. Calculer la probabilité que l'erreur soit inférieur à 15 mn au bout d'un an. Ignorant les années bissextiles.

J'ai commencé par poser Xi la variable aléatoire erreur commise au Jour i. i entre 1 et 365.
L'erreur en une année est donc
S= \sum_{i=1}^{365}{X _{i}}

Xi positif et inférieure à 30 s.
Et S inférieure à 15 mn.

Par contre, c'est là que je bloque.

Je voudrais un peu d'aide s'il vous plaît.
Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 27-01-24 à 08:49

salut

les variables aléatoires X_i suivent la loi uniforme sur l'intervalle [0, 30] et sont indépendantes

leur somme suit la loi d'Irwin-Hall : (enfin à adapter pour l'intervalle [0, 30]

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 27-01-24 à 14:36

Bonjour Vaartz,
ton profil indique "Niveau : autre prépa", pour quelle raison postes-tu en Terminale ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Vaartzre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 27-01-24 à 19:48

Bjr Tilk_11

Je suis vraiment désolé, il y a eu confusion de ma part.
Vu que je suis en terminale et que je suis des cours particuliers pour les concours d'entrée en 1ere année, j'ai cru que mon profil correspondait à prépa (autre).
Désolé pour le dérangement, voyez vous, je ne vis pas en France et j'aurais du mieux étudier les termes techniques avant de valider mes informations.

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 28-01-24 à 10:11

Bonjour Vaartz,
c'est tout simple, puisque tu es en terminale indique Niveau : Terminale dans ton profil, cela permet à ceux qui t'aident d'intervenir au bon niveau.

Posté par
carpediemre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 28-01-24 à 11:52

les variables aléatoires X_i suivent la loi uniforme sur l'intervalle [0, 30] et sont indépendantes

soit t_i \in [0, 30]

P(S \le 900) = \sum_{\sum_{k = 1}^{365} t_k \le 900} P( X_1 \le t_1 $ et $ X_2 \le t_2 $ et $ ... $ et $ X_{365}\le t_{365}) =  \sum_{\sum_{k = 1}^{365} t_k \le 900} \prod_{k = 1}^{365} P(X_k \le t_k)

car les variables X_k sont indépendantes

de plus P(X_k \le t_k) = \dfrac {t_k} {30}

Posté par
Vaartzre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 28-01-24 à 13:31

Désolé de n'avoir pu répondre que maintenant.
En fait, en étudiant le cours que vous m'avez suggéré, j'ai pensé à appliquer le théorème de limite centrale, la variance est de n²/12 pour S conformément à ce que le cours a dit  mais je me suis embrouillé à trouver la moyenne.
Mais je vois que la vôtre est bien plus facile.
Par contre j'ai pas vraiment suivi pourquoi P(Xk\leq t_{i}) = \frac{t_{k}}{30}

Posté par
carpediemre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 28-01-24 à 17:18

parce que je suppose que les variables X_k suivent la loi uniforme sur l'intervalle [0, 30] : chaque jour l'erreur commise est un réel quelconque de cet intervalle

Posté par
Vaartzre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 29-01-24 à 19:18

Ah je vois!
Donc après simplification, on obtient :
\prod_{k=1}^{365}{P(X_{k}\leq t_{k})= \prod_{k=1}^{365}{\frac{t_{k}}{30}

Aussi je voudrais savoir ce que cela signifie techniquement le symbole que vous avez utilisé.

Probabilité qu\'une erreur soit inférieur à une telle valeur

Posté par
carpediemre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 29-01-24 à 20:08

au jour k l'erreur est t_k et la somme des 365 erreurs doit être inférieur à 900 s

donc tu sommes sur tous les 365-uplets possibles de réels entre 0 et 30 et dont la somme est inférieure à 900

Posté par
Vaartzre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 30-01-24 à 16:00

Je poursuis mes calculs

P(S≤900)= \sum_{\sum_{k=1}^{365}{t_{k}\leq 900}}{\prod_{k=1}^{365}{\frac{t_{k}}{30}}}

Pour que la somme des erreurs soit inférieur à 900, il faudrait que les erreurs soient êgales à 2s chacune
Ensuite je remplace t_k par 2 dans t_k/30,

Donc
(2/30)^365≈0.


Une probabilité presque nulle.

Posté par
Vaartzre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 31-01-24 à 08:53

Alors, ai-je bien fait?

Posté par
carpediemre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 31-01-24 à 10:39

non ça ne va pas !!!

tu dois considérer toutes les cas de 365 réels dans l'intervalle [0, 30] dont la somme est inférieure à 900

tu peux avoir par exemple : 10 + 10 + \pi + .. + \sqrt 2 + ... + e^3 + ... + ... ln 5 + ... + 30 + .. + 25,4 + ..

soit une somme de 365 réels quelconques de l'intervalle [0, 30] inférieure à 900 en considérant tous les cas possibles (donc avec toutes les permutations possibles ...


donc ça me semble bien compliqué en Tle ...

d'ailleurs je suis curieux d'avoir la réponse de ton prof


REM : en divisant par 30

carpediem @ 27-01-2024 à 08:49

les variables aléatoires X_i suivent la loi uniforme sur l'intervalle [0, 1] et sont indépendantes

leur somme suit la loi d'Irwin-Hall : (enfin à adapter pour l'intervalle [0, 30]
et on cherche alors P(S < 30)

Posté par
Vaartzre : Probabilité qu'une erreur soit inférieur à une telle valeur 31-01-24 à 17:24

Notre prof nous a dit que ce sera très important pour le concours donc nous a proposé de creuser un peu.


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