bonjour, voici mon énoncé
Pour Halloween, Mathieu prépare un sac de friandise pour les enfants qui se présenteront a sa porte .
le sac contient au début de la soirée 10 têtes brûlées et 30 bonbons aux fruits. a chaque fois qu'un enfant prend une friandise (au hasard) dans un sac il ajoute une tête brûlée pour la remplacer.
a partir de combien de bonbons prélevés la probabilités de tirer une tête brûlée deviens telle supérieur a: a) 0.32 b)0.5 c)0.9
voici mon résultat pour a)
nous avons une probabilité de départ de 10/40 or le nombre de friandise ne change pas donc on divise par 40 puis le nombre de têtes brûlées devient 10+x d'ou la probabilité: (10+x)/40
(10+x)/40>32
10+x>12.8
x=12.8-10
x=2.8
au troisième tirage la probabilité sera supérieur a 0.32
je bloque a partir de la question b) pourriez vous m'aidez sil vous plait.
salut
au depart on a ( étape Eo ) 10 tetes brulées et 30 bonbons , on a sortie x tetes brulées
et y bonbons , alors à l'etape k on a on a remis x tetes brulées et on a recuperé y bonbons
qui deviennent des tetes brulées. donc à l'etape k on a dans le sac :
10+y tetes brulées et 30 - y bonbons ensuite à l'etape k+1 si on a sorti une tete brulée on aura dans le sac 10+y tetes brulées et 30-y bonbons , par contre si on a sorti un bonbon à l'etape k on aura à l'etape k+1 : 11 + y tetes brulées et 29-y bonbons
par la formule des probabilités totales on peut donc ecrire que , avec Tk l'evenement
tirer une tete brulée à l'etape k que
P(Tk+1)= P(Tk+1/Tk) .P(Tk) + P(Tk+1/Bk).P(Bk) = P(Tk+1/Tk) .P(Tk) + P(Tk+1/Bk).(1-P(Tk) avec P(Tk+1/Tk) = (10+y)/40 et P(Tk+1/Bk)= (11+y)/40
du coup
P(Tk+1)= (10+y).P(Tk)/40 + (11+y).(1-P(Tk))/40 = -P(Tk)/40 + (11+y)/40
débarrassons nous du y , à l'etape k, on peut écrire que P(Tk)= (10+y)/40 alors
y = 40.P(Tk) -10
du coup P(Tk+1)= -P(Tk)/40 + (11+40.P(Tk) -10 )/40 = (39/40).P(Tk) + 1/40
soit finalement P(Tk+1)= (39/40).P(Tk) + 1/40 qui prend largement la forme
d'une suite de type an+1 = k.an + b
c'est une suite géométrique alors ? comment fait ton pour savoir la probabilité de tirer une tête brûlées superieur a 0.32 , 0.5 et 0.9 il manque P(TK) ?
ma formule à l'air de se verifier
P(T1)=P(T1/To).P(To) + P(T1/B1).P(B1)= (10/40)*(10/40) + (11/40).(30/40)= (100+ 330)/1600 = 430/1600 = 43/160
avec la formule generale P(T1)=(39/40).(1/4) + 1/40 = 43/160 ...meme chose donc c'est ok
il suffit de resoudre Tn+1 = (39/40).Tn + 1/40 en effectuant un changement de variable
il faut se débarrasser du 1/40 pour se ramener à une suite géométrique classique de la forme Un+1 = Uo.qn ...veut essayer de le trouver par toi meme ?
salut pose Tn = Vn + 1 avec P(tn)=Tn
il vient P(tn+1)= (39/40).P(tn) + 1/40 revient à Vn+1 = (39/40).Vn je te laisse poursuivre
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