Bonsoir à tous,

J'ai fais un exercice et j'aimerai savoir si mes réponses sont justes, l'énoncé est le suivant:

On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher. U1 contient n boules blanches et 3 boules noires et U2 contient 2 boules blanches et 1 boule noire .Une épreuve est constituée de la façon suivante : on tire une boule de U1 et on la met dans U2, puis on tire une boule de U2 et on la remet dans U1.

1)On considère l'événement A:" après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ".
a) Montrer que la probablitié de A est : p(A)= (3(n+2))/(4(n+3))

Donc j'ai commencé par dire qu'il y'avait équiprobabilité ensuite, notons C l'événement "la boule piochée est blanche" et N l'événement "la boule piochée est noire ".
J'ai cherché P U1 (C) =n/n+3 et P U1 (N)= 3/n+3

Pour que les urnes se retrouvent dans leur configuration de départ c'est il fautqu'une boule noire est été tirée dans l'urne 1 et aussi dans l'unre 2 ou qu'une boule blanche est été tirée dans l'urne 1 et aussi dans l'urne 2.
P U1 (C)= n/n+3 il y'a donc 3 boules blanches dans l'urne 2  P U2 (C)= 3/4

P U1(N)=3/n+3 il y'a donc 2 boules blanches dans l'urne 2 et 2 boules noires  P U2 (N)= 1/2

Donc P(A)= 3/4* n/n+3 +1/2*3/n+3 =(3(n+2))/(4(n+3))  

b)Calculer la limite de p(A) lorsque n tend vers  +

J'ai mis que lim (3(n+2))/(4(n+3))=3/4 (selon la règle de la limité des monômes de plus haut degrès).

2) On considère l'événement B "Après l'épreuve, l'urne U2 contient une seule boule blanche ". Montrer que la probabilité de B est : p(B)= 6/(4(n+3))

Donc pour que l'événement B se réalise il faut que  la boule tirée dans l'urne 1 soit noire et que celle tirée dans l'urne 2 soit blanche.

Juste après le tirage U1  l'urne 2 possède donc 2 boules blanches et 2 boules noires.

p(B)= P U1 (N)* P U2 (C)= 3/n+3*1/2= 3/2(n+3) qui multiplié par 2 =6/(4(n+3))

3) Un joueur mise 20 francs et effectue une épreuve.A l'issue de l'épreuve, on compte les boules blanches contenues dans U2.

Si U2 contient une seule boule blanche, le joueur gagne 2n francs.
Si U2 contient deux boules blanches, le joueur gagne n francs.
Si U2 contient trois boules blanches, le joueur ne gagne rien.
On considère la variable aléatoire X qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si, après l'épreuve,U2 contient une seule boule blanche,X=2n-20 ).

a)Expliquer pourquoi le joueur n'a aucun intérêt à jouer si n10.

Le joueur n'a aucun intérêt à jouer si n10 car au maximum le joueur peut gagner 2n donc 20 francs or on sait qu'il a misé 20 francs on en déduit que si n=10 le joueur n'a ni gagné ni perdu d'argent  et si n<10 le joueur a perdu de l'argent cela n'adonc aucun intérêt.

b) Déterminer la loi de probabilité de X : X prend 3 valeurs 2n-20 ;n-20 et -20
p(2n-20)= p(B) =6/4(n+3)  p(n-20)=p(A)= (3(n+2))/(4(n+3)) et p(-20)=1-(p(A)+p(B))=n/4(n+3)

c) Calculer son espérance mathématique :  (sans détailler )je trouve (3n²-62n-240)/(4(n+3))

D) On considère que n>10.Le jeu est alors favorable au joueur si l'espérance mathématique de X est strictement positive.Montrer qu'il en est ainsi dès que l'urne U1 contient au moins 25 boules blanches.

Sans détailler tous mes calculs j'ai calculé E(x) pour 25 boules blanches je trouve 115/112 donc une espérance positive.
Puis j'ai aussi calculer E(X) pour 24 boules blanches, j'ai trouvé une espérance nulle donc à partir de 25 boules blache dans l'urne 1 le jeu est favorable.

Par contre j'aimerai faire un arbre pondéré représentant l'épreuve mais je ne sais pas comment m'y prendre pour tout réunir en un seul arbre. Pourriez-vous m'aider ?
Merci beaucoup !