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Probabilités
Bonjour à tous,
Je suis en Terminale S et j'ai un exercice de proba/suite sur lequel je bloque un peu... je vous donne l'énoncé ainsi que ce que j'ai fait. Merci d'avance pour ceux qui m'aideront.
Dans un pays imaginaire, on admet qu'un jour donn ́e soit il fait beau, soit il pleut !
S'il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec une probabilité est égale à 1/2. S'il pleut un jour, alors il pleuvra encore le lendemain avec un probabilité est égale à 2/3.
Aujourd'hui il pleut.
On s'intéresse à la probabilité qu'il fasse beau demain, dans 2 jours, dans 3 jours, . . . , dans n jours.
Pour n supérieur ou égal à 1, on note Bn l'événement « il fera beau dans le n-ième jours » et pn la probabilité de Bn
1. Illustrer par un arbre pondéré l'évolution possible de la météo pour demain et après demain.
2. Determiner les valeurs exactes de p(B2) et p(B3)
3. Compléter l'arbre: (On suppose que c'est un arbre)
Bn+1
Bn
Bn+1 barre
Bn+1
Bn barre
Bn+1 barre
4. Démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 1, pn+1=1/6pn+1/3
5. On pose pour tout entier n supérieur ou égal à 1, Un=pn-2/5
Montrer que U est une suite géométrique de raison 1/6.
En déduire l'expression de Un, puis de pn en fonction de n.
6. Estimer la probabilité qu'il pleuve le 1000 ème jour.
Ce que j'ai fait:
1. Compliqué à intégrer, mais je suis sure de moi pour cette question.
2. p(B2)=p(B1interB2)+p(B1barreinterB2)
p(B3)=p(B1interB2interB3)+p(B1interB2barreinterB3)+p(B1barreinterB2interB3)+p(B1barreinterB2barreinterB3)
(D'après la formule des probabilités totales.
3. C'est à partir de cette question que je ne sais plus comment procéder... puisqu'ici on ne sait pas quel temps il faisait la veille.. on met donc une variable x?
4. Je pense savoir comment faire mais il faudrait déjà que je sois sure pour la question précédente.
Voilà, merci d'avance
Bonjour,
S'il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec une probabilité est égale à 1/2. S'il pleut un jour, alors il pleuvra encore le lendemain avec un probabilité est égale à 2/3.
on note Bn l'événement « il fera beau dans le n-ième jours » et pn la probabilité de Bn
Aujourd'hui il pleut.
2)OK pour les formules mais indique les calculs...
p(B2)=p(B1interB2)+p(B1barreinterB2)=.............
salut
l'enoncé donne P(Bn+1/Bn)= 1/2
P(nonBn+1/nonBn)=2/3
alors P(Bn+1)=P(Bn+1/Bn).P(Bn)+P(Bn+1/nonBn).P(nonBn)
or P(Bn+1/nonBn)= 1-P(nonBn+1/Bn) = 1-2/3=1/3.
donc P(Bn+1)=1/2.P(Bn)+1/3.P(nonBn) = 1/2.P(Bn)+1/3.(1-P(Bn)) =
1/2.P(Bn)+1/3 - 1/3P(Bn) = 1/6.P(Bn)+1/3
donc P(Bn+1)= 1/6.P(Bn)+1/3 ce qu'on voulait
Oui oui Labo, c'était juste pour ne pas tout écrire.
Mais justement Flight, dans l'énoncé ils disent pn est la probabilité de Bn, du coup ça serait pas plutôt:
L'énoncé nous donne P(n+1intern)= 1/2
P(nonn+1/nonn)=2/3
alors P(n+1)=P(n+1intern).P(n)+P(n+1internonn).P(nonn)
or P(n+1internonn)= 1-P(nonn+1intern) = 1-2/3=1/3.
donc P(n+1)=1/2.P(n)+1/3.P(nonn) = 1/2.P(n)+1/3.(1-P(n)) =
1/2.P(n)+1/3 - 1/3P(n) = 1/6.P(n)+1/3
donc P(n+1)= 1/6.P(n)+1/3
Puisque si on le fait avec Bn on obtient justement pas ce qu'on voulait
relis bien ce que j'ai ecris
L'énoncé nous donne P(n+1intern)= 1/2
P(nonn+1/nonn)=2/3
c'est pas très compréhensible
Oui pardon, pour moi l'énoncé donne:
Pn(n+1)= 1/2 et Pnonn (n+1)=1/3.
Puisque si on remplace n par Bn on ne trouve pas le résultat sous la même forme qu'il est demandé
je sais pas si tu a saisi mais c'est juste une forme d'ecriture pour présenter les choses autrement sous forme d'une suite de type Pn+1=f(Pn) en posant simplement
P(Bn)=Pn ca ne change rien ... tu peux tres bien travailler avec P(Bn+1)= 1/6.P(Bn)+1/3
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