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Probabilités
Bonjour,
Pouvez-vous m'aider à faire cet exercice, je n'y arrive pas. Merci beaucoup.
Sur le site Drogues-Info-Service, on peut lire qu'une étude faite en 2011 indique que parmi les jeunes de moins de 17 ans 41,5% ont déjà expérimenté le cannabis. Stupéfait de cette statistique, un chef d'établissement décide de réaliser cette étude dans son lycée. Pour cela il demande à chaque professeur principal de questionner les élèves à ce sujet. Le résultat de cette enquête est le suivant : parmi les 1200 élèves de l'établissement (ayant moins de 17 ans), 241 ont affirmé avoir déjà expérimenté le cannabis.
Un professeur de mathématiques affirme qu'il est fort probable que ce résultat ne soit pas cohérent avec l'étude menée par Drogues-Info-Service et propose de réaliser à nouveau l'enquête mais de manière différente. Le professeur place dans un sac trois cartes indiscernables au toucher.
Sur la première carte est écrite la question : «Avez-vous déjà consommé au moins une fois du cannabis ?».
Sur la deuxième carte est représenté un triangle noir et y est inscrit également la question : «Y a-t-il un triangle noir sur cette carte ?».
Sur la troisième carte ne figure que la question : «Y a-t-il un triangle noir sur cette carte ?».
Chaque élève plonge sa main dans le sac et prend une carte au hasard sans la montrer au professeur. Il répond alors par « Oui » ou par « Non » à la question qui se trouve sur la carte qu'il a piochée. Le professeur ignorant la carte qui a été tirée, on admet que les élèves, ne pouvant être mis en cause, disent la vérité.
Sur les 1200 élèves, 560 élèves ont répondu « Oui » à la question qui leur a été posée.
1) Le professeur de mathématiques a-t-il raison d'émettre des doutes sur la cohérence des résultats de l'enquête menée au lycée avec ceux de l'enquête nationale ?
Dans le cadre de l'enquête conduite par le professeur de mathématiques, on note C_1 (respectivement C_2 et C_3 ) l'événement « tirer la première (respectivement deuxième et troisième) carte dans le sac ».
On note O l'événement : « répondre Oui à la question posée ».
On appelle p la probabilité qu'un élève ayant tiré la première carte réponde par « Oui ».
2) Représenter la situation par un arbre pondéré.
3) En déduire la valeur de p.
4) Que penser des résultats de cette enquête menée au lycée au regard des résultats de l'enquête nationale ?
Remarque : ce type d'enquête a réellement été conduit sur le terrain. Pendant la guerre du Vietnam, les autorités américaines ont souhaité savoir combien de soldats prenaient de la drogue. On disait que la drogue était très répandue, et il était important de vérifier si c'était vrai. Cependant aucun soldat ne voudrait reconnaitre prendre de la drogue, délit puni par la loi.
bonjour,
On appelle p la probabilité qu'un élève ayant tiré la première carte réponde par « Oui ».
2) Représenter la situation par un arbre pondéré.
Tu l'as fait ton arbre ?
Bonjour,
1)
parmi les 1200 élèves de l'établissement (ayant moins de 17 ans), 241 ont affirmé avoir déjà expérimenté le cannabis.
Tu peux déjà répondre à la question !! Tu peux facilement calculer la probabilité qu'un élève ait déjà expérimenté le cannabis, et comparer avec le résultat donné par l'enquête nationale...
PS : Ton profil de niveau d'études indique Master !!! Alors que ton sujet est de niveau terminale... (car en Master cette exercice paraîtrait trivial !! 
)
Donc penses à modifier ton niveau d'études dans ton profil...
Bonjour,
Enquête nationale : 41.5%
et enquête du lycée : 241/1200*100 = 20.08%, c'est ça ?
Donc il a raison d'émettre des doutes.
Ensuite, je fais comment ?
2. p=1/3*1/2=1/6 soit 16.67%
3. Je ne sais pas trop quoi répondre, je pensais ( est-ce juste ? ) : soit certains jeunes n'ont pas osé répondre oui à la question de la première carte, soir les résultats de l'enqu^te nationale sont erronés.
PS : j'ai bien un master, mais en chimie...
2) Ok.
3) Comparons les 3 résultats :
Enquête nationale : 41.5%
Enquête lycée prof principal : 20.08%
Enquête lycée prof de maths : 16.67%
Comme on peut voir les résultats des enquêtes au lycée sont plutôt proches, mais toutes 2 très incohérentes par rapport à l'enquête nationale.
Il y a une part de juste dans ce que tu affirmes à savoir que le résultat de l'enquête nationale est erronée, mais dire que certains n'osent pas dire oui à la question, je ne suis pas tout à fait d'accord car les élèves sont censés dire la vérité selon l'énoncé ! Soit ils répondent oui, soit c'est non !
Comme tu peux voir sur l'enquête du prof de maths, sur les 1200 élèves, 560 élèves ont répondu « Oui » à la question qui leur a été posée, soit environ 46.67%.
Mais il faut savoir que ce pourcentage comprend à la fois la probabilité p calculée, mais aussi que l'élève ait dit "oui" sachant qu'il ait tiré la 2ème carte (ou bien la 3ème carte).
De plus, la 2ème et 3ème carte sont des questions n'ayant rien à voir avec l'expérimentation du cannabis...
Si on devait prendre en compte ceci, on aurait une probabilité de : 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 soit 50%. Ce qui coïncide à peu près au résultat donné.
2. p=1/3*1/2=1/6 soit 16.67%
Si tu ne fais pas l'arbre (question 2), tu as peu de chances d'arriver à calculer p (question 3).
Répondre ensuite à la question 4 (analyse des résultats) est assez simple avec la bonne valeur de p, qui confirme l'étude nationale.
Ou sinon, sans l'arbre :
"OUI" = "C1 et OUI" ou "C2 et OUI" ou "C3 et OUI" (union d'événements disjoints)
==> P(OUI) = P(C1 et OUI) + P(C2 et OUI) + P(C3 et OUI)
==> P(OUI) = P(OUI/C1)*P(C1) + P(OUI/C2)*P(C2) + P(OUI/C3)*P(C3)
==> P(OUI) = p * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3 = p/3 + 1/3
D'après l'enquête du professeur : P(OUI) ~ 560/1200 = 7/15
Donc : p/3 + 1/3 ~ 7/15
Donc : p ~ . . .
Remarques sur l'énoncé :
1. A la question 3 on ne calcule pas p, mais une valeur vraisemblable de p (ou approchée).
2. L'étude parle de "jeunes de moins de 17 ans" : donc cela inclut les bébés ?
Il manque clairement une précision qui établirait que la population de l'étude concerne les lycéens.
3. En toute rigueur, le chef d'établissement (qui a manqué de flair dans son enquête en sous estimant la gêne des lycéens à avouer leur expérience du cannabis) et le professeur de maths (qui a été plus malin avec un protocole qui anonymise les réponses) devraient aussi se demander si la population d'élèves de leur lycée est représentative de la population nationale.
Pour la question 1, s'il faut la justifier on peut calculer un intervalle de fluctuation de la fréquence f observée par le directeur, sous l'hypothèse que la probabilité d'avoir eu une expérience du cannabis vaut p affirmé par l'étude nationale. On trouverait alors que la fréquence observée est peu plausible (largement en dehors de l'intervalle de fluctuation à 95%, ou même à 99% ou même à 99.9%)...
La forme de la justification pourra varier selon le niveau auquel le problème a été donné (première, terminale, supérieur...).
Bonjour,
C'est un exercice de TS SVT. Je dois calculer un intervalle de fluctuation ? Je fais comment ? Je vous remercie.
Je te parle du p qu'on te demande à la question 3.
Tu peux en calculer une valeur approchée en considérant que l'expérience du professeur permet de dire que P(OUI) vaut approximativement 560/1200 et en comparant avec l'expression théorique de P(OUI) en fonction de p.
Mais pour ça, il faut que tu aies fait un arbre, comme on te le demande à la question 2.
L'as-tu fait ?
A défaut, tu peux faire une démonstration utilisant les probabilités conditionnelles, comme je l'ai fait à 13:35. Mais pour ça il faut connaître son cours et avoir un peu de pratique.
Si tu ne calcules pas p... c'est comme si tu n'avais rien fait et rien compris à ce problème.
Bonjour,
Si, j'ai fait mon arbre. J'ai trouvé p = 1/6, ce que m'a confirmé fenamat84.
Ce n'est pas ça ?
Pour le 3., je me demandais s'il fallait utiliser un intervalle de fluctuation...
Je ne comprends pas si à la question 2, le p=1/6 est faux ou non ?
Le p/3 + 1/3 ~ 7/15 est-il la réponse à la question 2 ?
Rebonsoir,
Oui, en réalisant l'arbre correctement, je me suis rendu compte que je n'ai pas tenu compte des probabilités conditionnelles concernant la 2ème carte et la 3ème carte.
Du coup comme LeDino l'a affirmé plus tôt, la probabilité qu'une élève réponde OUI est donnée par :
P(OUI) = p/3 + 1/3
Or d'après l'énoncé, on a "Sur les 1200 élèves, 560 élèves ont répondu « Oui » à la question qui leur a été posée". Ainsi :
P(OUI) = 560/1200 = 7/15
Ainsi : p/3 + 1/3 = 7/15
Et on tire la valeur de p : p/3 = 7/15 - 1/3 = 2/15
=> p = 3*(2/15) = 6/15 = 2/5 = 0.4. soit un pourcentage de 40%
Cela est donc plus cohérent avec l'enquête nationale comme l'a affirmé LeDino. 
Ce qui serait bien c'est que polpol07 se rende compte par lui même que son calcul de p à 1/6 est bidon et qu'il se prenne par la main pour faire un arbre correct comme on le lui TOUS demandé depuis le début.
Quand on a un master de chimie on est supposé avoir de la maturité et savoir travailler de façon autonome.
Tu t'es contenté de l'approbation de fenamat qui n'a pas vérifié l'arbre... ce qu'il n'avait du reste pas à faire puisque tu ne l'as pas donné !
Conclusion popol : si tu VEUX progresser, tu FAIS l'arbre.
Et si tu veux qu'on t'aide : tu le postes ici.
PS : quand je t'ai dit à 13h35 que le calcul et le résultat à p=1/6 était ARCHI FAUX... c'est quel mot que tu n'as pas compris ?
Voici l'arbre que j'ai fait, il est faux mais je ne comprends pas pourquoi :
J'ai fait trois branches : une menant à C1, l'autre à C2 et la dernière à C3. Chacune avec une probabilité de 1/3. Puis, j'ai fait deux branches partant de C1, deux partant de C2 et deux partant de C3, une menant à OUI, et l'autre à NON. J'ai marqué une probabilité de 1/2 à chacune.
Merci pour votre aide.
Bonjour,
Ca y est, j'ai refait l'arbre et j'ai enfin compris. Hier, je n'étais pas dans mon assiette...*Pour C2, la branche menant à OUI a une probabilité de 1, et pour C3, de O.
au 3. J'ai répondu que le p de 40% que j'ai trouvé était cohérent avec l'enquête nationale. Est-ce cela ?
Merci encore. J'avais compris que c'était faux, mais pas pourquoi. La mâturité, je pense en avoir, mais hier, je n'étais pas bien.
Merci encore. J'avais compris que c'était faux, mais pas pourquoi...
... hier, je n'étais pas bien.
J'ai bien flairé hier qu'il y avait quelque chose qui clochait.
En principe, si tu avais compris hier, tu aurais eu une réaction différente.
C'est pour ça que j'ai un peu tapé du poing sur la table pour provoquer une réaction.
Je suis très heureux que tu aies eue la bonne
...
Ca y est, j'ai refait l'arbre et j'ai enfin compris.
Pour C2, la branche menant à OUI a une probabilité de 1, et pour C3, de 0.
Et la probabilité d'un OUI en partant de C1 est p ... que l'on cherche.
Au 3, j'ai répondu que le p est de 40%
On ajoute les probabilités des trois branches qui conduisent à un OUI.
P(OUI) = 1/3 * p + 1/3 * 1 + 1/3 * 0
560/1200 = 7/15 = p/3 + 1/3
p = 7/5 - 1 = 2/5 = 0.4 = 40%
... que j'ai trouvé cohérent avec l'enquête nationale. Est-ce cela ?
.
L'analyse du problème est la suivante :
L'étude nationale qui affirme que p=41.5% est contredite par l'enquête du directeur qui trouve une proportion f=20.1% qui est largement en dehors de l'intervalle de fluctuation attendu.
NB: Ici, on pourrait donner un intervalle de fluctuation au seuil de 99% par exemple.
En effet sous l'hypothèse H0 que la proportion p de OUI est bien celle donnée par l'étude nationale (donc p = 0.415), on a X le nombre de OUI qui suit une loi binomiale B(n=1200;p=0.415), dont on connait la variance : VAR(X) = n.p.(1-p)
Or, la fréquence de OUI observée dans l'enquête vaut f=X/n et on peut donc calculer son écart-type :
sigma(f) = racine(p(1-p)/n) = 1.42%
Avec n=1200, on peut approcher la loi binomiale par une loi normale de mêmes paramètres (espérance et variance). Or la loi normale indique que 1% des valeurs de f seront réparties (test bilatéral) au-delà de p plus ou moins 2.58 fois l'écart-type, soit au-delà de 2.58*1.42% = 3.7%
Donc l'intervalle de fluctuation de f au seuil de 99% est de [41.5% - 3.7% ; 41.5% + 3.7% ] = [37.8% ; 45.2%]
Avec une valeur de f=20.1%, la fréquence observée par le directeur est très en dehors de cet intervalle.
L'hypothèse H0 doit donc être rejetée : la proportion de OUI ne peut pas être de 41.5%.
J'ignore si on demande ce calcul en terminal...
... mais c'est bel et bien le raisonnement qu'on devrait appliquer ici.
Mais l'analyse ne s'arrête pas là...
Le directeur, qui a fait cette enquête parce qu'il avait des doutes sur l'étude nationale, voit ses doutes renforcés. Si l'histoire s'arrête là, il conclura probablement qu'il y a une erreur dans l'étude et que p est bien plus proche de 20% que de 41.5%.
Mais le professeur de mathématiques sait que dans une enquête il peut y avoir des "biais".
Le nombre de OUI à la question posée par le directeur ne mesure pas réellement le nombre de jeunes lycéens ayant expérimenté le cannabis : tout simplement parce qu'une partie des élèves n'ose pas avouer cette expérience. Autrement dit, les OUI "déclarés" sont moins fréquents que les OUI "réels"...
L'astuce de la contre enquête testée par le professeur permet de rendre les réponses totalement anonymes puisque lorsqu'un élève répond OUI, on ignore à quelle question il répond. Ce procédé élimine le biais de l'étude du directeur. De ce fait, la proportion p=40% de OUI trouvée par le professeur se situe bel et bien dans l'intervalle de fluctuation sous l'hypothèse H0. Sa contre enquête confirme donc l'étude nationale.
---
Restent deux points mal dits dans l'énoncé :
une étude faite en 2011 indique que parmi les jeunes de moins de 17 ans 41,5% ont déjà expérimenté le cannabis
Il manque le mot "lycéen" :
une étude faite en 2011 indique que parmi les jeunes lycéens de moins de 17 ans 41,5% ont déjà expérimenté le cannabis
L'autre point concerne le p calculé à la question 3.
En réalité il ne s'agit pas d'une valeur exacte, mais d'une valeur approchée (ou estimée).
En effet, le tirage au sort de C1, C2, C3 est fait avec une équiprobabilité de 1/3...
... mais dans la pratique sur 1200 tirages, il y aura des fluctuations des fréquences autour de 1/3 mais pas exactement à 1/3.
Ce dernier point est trop complexe pour être traité en terminale.
L'énoncé aurait éventuellement pu mentionner : "calculer une valeur approchée de p en considérant que la probabilité d'obtenir un OUI est approximativement égale à la fréquence 560/1200"... mais cela aurait encore alourdi l'énoncé...
Au final : un problème très intéressant et moins simple qu'il n'y parait au début
...Merci beaucoup, c'est vrai que ce problème a l'air très simple au début, mais il ne l'est pas du tout. C'est bien plus clair maintenant.
Bonne journée.
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