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Probabilités et prise d'initiative
Bonsoir,
j'aimerais un peu d'aide pour résoudre ce problème
Une maladie touche, dans la population, 1 personne sur 1000. Cette maladie est toujours mortelle, mais on peut sauver le patient grâce à une opération passablement risquée. Cette opération sauve 1 personne malade sur 2, mais tue la moitié des personnes opérées.
Avant de décider l'opération, on peut utiliser un test de dépistage qui permet de détecter la maladie. Ce test est fiable à 90%, c'est à dire que 90% des malades donnent un test "positif" et 90% des non-malades un résultat "négatif" au test.
Une personne choisie au hasard dans la population passe le test, qui donne un résultat positif.
Conseillez-vous à cette personne de se faire opérer ?
J'ai fait un arbre, mais je le trouve beaucoup trop "étendu" donc peut être faut-il en faire deux, surtout que certaines branches continuent sur des branches qui s'arrêtent (en gros, il n'est pas symétrique).
Merci d'avance
salut
non il n'y a qu'un arbre à faire :
1e niveau : malade / pas malade
2e niveau : test (positif/négatif)
3e niveau : opération (pour les positif)
4e niveau (pour les opérés) : mort / pas mort
...
Commence toujours par formaliser l'énoncé :
M+ : Malade
M- : Sain
T+ : Test positif
T- : Test négatif
P(M+) = 1/1000
P(T+/M+) = 90%
P(T-/M-) = 90%
Ensuite reformule la question :
Une personne choisie au hasard dans la population passe le test, qui donne un résultat positif.
Conseillez-vous à cette personne de se faire opérer ?
Si P(M+/T+) > 50%, alors il est préférable de tenter l'opération (qui offre de meilleures chances de survie).
Sinon, il vaut mieux ne pas la tenter.
Donc le problème revient à calculer P(M+/T+)
Enfin tu appliques les formules du cours (probabilités conditionnelles, probabilités totales...) :
P(M+/T+) = P(M+ et T+) / P(T+) = P(T+/M+) * P(M+) / P(T+)
P(M+) = 1/1000 et P(T+/M+) = 0.9
Reste donc à calculer P(T+) :
P(T+) = P(T+ et M+) + P(T+ et M-) = P(T+/M+)*P(M+) + P(T+/M-)*P(M-)
P(T+) = P(T+/M+)*P(M+) + (1-P(T-/M-))*(1-P(M+))
P(T+) = . . .
Sans surprise, la probabilité d'être malade en étant T+ reste très faible, bien inférieure à 50%.
L'opération n'est donc pas justifiée.
Le résultat est sans surprise, car sur 100 000 individus, 100 seulement sont malades, dont 90 donneront un T+
... et 99 900 seront sains, dont 9990 donneront un T+.
Il y a donc beaucoup plus de T+ sains que de T+ malades.
Un test positif permet d'améliorer la présomption de maladie, qui passe de 0,1% à 8,29%.
Mais c'est insuffisant pour recourir à une opération aussi "expéditive".
salut
non il n'y a qu'un arbre à faire :
1e niveau : malade / pas malade
2e niveau : test (positif/négatif)
3e niveau : opération (pour les positif)
4e niveau (pour les opérés) : mort / pas mort
...
C'est bien ce que j'ai fait !!! Mais les 3è et 4è niveaux ne sont pas "partout" que tu sur une partie de l'arbre (pour les malades)
Sans surprise, la probabilité d'être malade en étant T+ reste très faible, bien inférieure à 50%.
L'opération n'est donc pas justifiée.
Le résultat est sans surprise, car sur 100 000 individus, 100 seulement sont malades, dont 90 donneront un T+
... et 99 900 seront sains, dont 9990 donneront un T+.
Il y a donc beaucoup plus de T+ sains que de T+ malades.
Un test positif permet d'améliorer la présomption de maladie, qui passe de 0,1% à 8,29%.
Mais c'est insuffisant pour recourir à une opération aussi "expéditive".
Merci pour vos deux réponses, je m'occupe de ça demain et je vous recontacterai ! merci encore de votre aide
Un test positif permet d'améliorer la présomption de maladie, qui passe de 0,1% à 8,29%.
La présomption de maladie passe de 0.1% à 0.83%.
La conclusion est encore plus spectaculaire...
Même si les chances de décès lors de l'opération ne sont que de 1%, il ne faut pas la tenter...
Il faut calculer la probabilité de Malade Inter Test positif ?! "C'est tout ?"
Probabilité de Tes positif est également simple à calculer, mais ça me parait bizarre de ne pas inclure les probabilités de Opération/Pas opération et Mort/Vivant (cf. Arbre ci dessous 
si je ne me suis pas trompée)
Merci d'avance
Il faut calculer la probabilité de Malade Inter Test positif ?!
J'ai dit qu'il faut calculer P(M+/T+), donc la probabilité de Malade sachant T+. C'est différent.
"C'est tout ?"
Si tu passes un test et qu'il est positif, ce que tu veux savoir c'est ta probabilité d'être malade.
Cette probabilité est simplement P(Malade sachant T positif) = P(M+/T+).
Si sachant que tu es T+, ta probabilité d'être malade est inférieure à 50%... tu n'as aucune raison de tenter une opération qui te tuera dans 50% des cas. C'est tout bête.
... mais ça me parait bizarre de ne pas inclure les probabilités de Opération/Pas opération et Mort/Vivant (cf. Arbre ci dessous si je ne me suis pas trompée)
Réfléchis à ce que j'ai expliqué.
Et dis moi ce qui empêche de conclure comme je l'ai fait, dès qu'on connait P(M+/T+).
Les informations sur les chances de survie à une opération sont bel et bien utilisées : mais juste pour les comparer à celles d'être malade. OK ?
Je viens de faire les calculs, et en effet j'ai trouvé comme vous PT(M) = 0,0089 = 0,89 %
Cependant, je comprends pas pourquoi il ne faut pas se faire opérer... Parce que le risque d'être malade est seulement de 0,89 % et qu'on risque à 50 % de mourir lors de l'opération ? Ce que je comprends pas, c'est que dans l'énoncé, on dit que 90 % des malades donnent un test positif donc pour moi c'est PT(M) ! Mais je dois me tromper pour ça, c'est pas très clair
Cependant, je comprends pas pourquoi il ne faut pas se faire opérer... Parce que le risque d'être malade est seulement de 0,89 % et qu'on risque à 50 % de mourir lors de l'opération ?
!
Tu passes un test. On te dit qu'avec ce test tu viens de passer de 0,1% de chances d'être malade à un peu moins de 1%.
Donc tu as 99% de chance de ne pas être malade.
Dans ce cas pourquoi diable risquer ta vie à pile ou face ???
Ce que je comprends pas, c'est que dans l'énoncé, on dit que 90 % des malades donnent un test positif
... donc pour moi c'est PT(M) !
C'est l'inverse.
Réfléchis...
Non ça va j'ai compris, merci beaucoup de votre patience
Juste je m'étais "emmêlée les pinceaux" avec P(T+/M+) et P(M+/T+) (j'ai pas l'habitude de cette notation) mais ça va beaucoup mieux maintenant que j'ai relu !
Encore merci
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