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Probabilités et transformations du plan

Posté par
barka54
10-04-21 à 09:21

Bonjour,
Besoin d'un coup de main pour cet exercice:

On considère un dé cubique homogène dont les faces sont numérotées 0; 0; -1; 1; 1; 1. On lance le dé deux fois de suite et on note par a le résultat du premier lancer et b celui du deuxième lancer. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O; u; v), on considère la transformation f d'écriture complexe z'=(a+ib)z+ib.
1) Calcule la probabilité de chacun des événements suivants:
(a) A: «f est une symétrie centrale».
(b) B: «f est une translation ».
(c) C: «f est similitude directe de rapport √2 ».
(d) D: «f est une similitude directe de centre A d'affixe w=-1».
2) Soit l'évenement E=D/C. Montre que sa probabilité est 0,75.



[Mon début]
J'ai construit un tableau à double-entrée (ressortissant les différents couples (a,b)) pour schématiser l'expérience . Le cardinal de l'univers est 36.
1) (a) f est une symétrie centrale lorsque (a+ib)=-1 => a=-1„ b=0
Il y'a deux couples (0;-1) y correspondant donc P(A)=4/36
(b) f est une translation : (a+ib)=1 => a=1 ; b=0 , il y'a 6 couples soit P(B)=6/36
(c) f est similitude directe de rapport √2 <=> √(a²+b²)=√2 <=> a²+b²=2
Soit P(C)=16/36
(d) f est une similitude directe de centre d'affixe -1 :
Donc b/(1-a) est égal à -1.
Soit a-b=1 ,  a=b+1 il y'a 8 couples qui correspondent soit P(D)=8/36

2) L'événement E est : f est une
f est une similitude directe de centre  d'affixe-1sachant qu'elle a pour rapport √2...
Mais je ne parviens pas à retrouver cette probabilité ...sûrement que emprunté une mauvaise piste dès le début ....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 09:36

Bonjour,
Il me semble qu'au d) tu mélanges les a et b de l'énoncé avec les a et b du cours.

Pour c), il faudra penser à détailler quand tu mettras au propre.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 09:39

Pour d), je te déconseille d'utiliser la formule du cours.
Utilise A invariant, c'est à dire \; zA=(a+ib)zA+ib .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 09:41

Et simplifie tes fractions !

Posté par
flight
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 11:11

salut

pour la question D , on pas similitude de centre A d'affixe w= -1 et de rapport  (......)   ?

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 11:38

Sylvieg @ 10-04-2021 à 09:39

Pour d), je te déconseille d'utiliser la formule du cours.
Utilise A invariant, c'est à dire \; zA=(a+ib)zA+ib .

Ok je vois:

Pour la question d)
ZA=(a+ib)ZA+ib
<=> ZA-(a+ib)ZA=ib
<=> ZA(1-(a+ib))=ib
<=> ZA=ib/(1-(a+ib))

ZA=-1 => \frac{ib}{1-(a+ib)}=-1 ... La condition sur ce rapport c'est a+ib≠1

<=> ib=-1(1-a-ib)
<=> a=1
Donc je choisis les couples pour lesquels a=1 et a+ib≠1 ie b≠0
Il y'a 12 couples soit P(D)=12/36=⅓

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 11:40

flight @ 10-04-2021 à 11:11

salut

pour la question D , on pas similitude de centre A d'affixe w= -1 et de rapport  (......)   ?
Le rapport n'a pas été précisé quand même...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 12:02

Pour traduire \; A \; invariant, inutile de faire une division :
Tu remplaces \; zA \; par \; -1 \; dans \; zA=(a+ib)zA+ib .
Puis tu identifies parties réelles et parties imaginaires.
N'oublie pas que dans l'exercice \; a \; et \; b \; sont des réels.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 12:10

La question d) est en fait mal formulée.
Ce devrait être :
D: "A d'affixe -1 est un point invariant de la similitude directe f"

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 12:19

Finalement, ça se discute.
Car on trouve 0,75 en 2) avec les 2 interprétations pour l'événement D.

Si a = 1 et b = 0, f est l'identité du plan. A est invariant, mais ce n'est pas le seul pont invariant...

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 12:21

En procedant donc par identification après avoir remplacé Z par -1 je trouve simplement a=1  

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 12:21

Sylvieg @ 10-04-2021 à 12:02

Pour traduire \;  A \; invariant, inutile de faire une division :
Tu remplaces \; zA \; par \; -1 \; dans \; zA=(a+ib)zA+ib .
Puis tu identifies parties réelles et parties imaginaires.
N'oublie pas que dans l'exercice \; a \; et \; b \; sont des réels.
D'accord

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 12:25

Et pour a=1 je trouve 18 couples soit P(D)=0,5

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 12:37

D'accord.

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 12:58

Pour la question 2; la probabilité de E est
P(E)=\frac{P(DinterC)}{P(C)}

Le nombre de couples (a,b) appartenant à la fois à l'evenement C et D est 12 Donc la probabilité de C inter D est 12/36=⅓
mais je trouve pas 0,75 dans ce sens ...

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 13:00

oups c'etait une erreur de calcul sinon ça donne

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 13:03

P(C)=4/9
En application numerique P(E)=(1/3)/(4/9)=(1/3)*(9/4)=3/4=0,75

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 18:48

Finalement, je pense que tu avais raison d'éliminer le cas de la translation de vecteur nul (l'identité du plan), c'est à dire d'écrire la condition \; a+bi 1 .
On trouve aussi 0,75.

Posté par
barka54
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 20:23

D'accord
Merci à vous ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités et transformations du plan 10-04-21 à 21:09

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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