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Probabilités problème

Posté par
lrs2020
13-01-21 à 21:41

Bonjour j'ai un problème de probabilité que je n'arrive vraiment pas à résoudre:

Si 10 couples sont assis au hasard autour d'une table ronde, calculer la probabilité que tous les couples soient réunis.

Réponse: =env. 3 * 10^-7 %

Est-ce que vous pourriez m'expliquer comment arriver à cette réponse ?

Posté par
carpediem
re : Probabilités problème 14-01-21 à 12:45

salut

ça veut dire quoi ce % dans

lrs2020 @ 13-01-2021 à 21:41

Réponse: =env. 3 * 10^-7 %


il y a 20! issues de placer ces 20 personnes ...

pour avoir les dix couples réunis il suffit de placer les dix hommes une place sur deux

j'ai 20 * 10! choix de placer les hommes aux places a, a + 2, a + 4, a + 6, a + 8, ..., a + 18 (modulo 20)

il y a 20 choix de la première place a ...

20 * 10! / 20! = 10! / 19! 3 * 10-11

Posté par
carpediem
re : Probabilités problème 14-01-21 à 12:49

en fait il y a peut-être un pb :

avec ma réponse précédente on peut placer soit es femmes à gauche soit les femmes à droites ...

ensuite on peut très bien avoir la situation : H1FFH2

donc les hommes ne sont pas forcément placés toutes les deux places ...

Posté par
carpediem
re : Probabilités problème 14-01-21 à 12:58

en fait à partir de ma solution précédente : pour chaque couple on peut décider de les permuter ou non ...

il y a 20! issues de placer ces 20 personnes ...

pour avoir les dix couples réunis on commence par placer les dix hommes une place sur deux

j'ai 20 * 10! choix de placer les hommes aux places a, a + 2, a + 4, a + 6, a + 8, ..., a + 18 (modulo 20)

il y a 20 choix de la première place a ...

ensuite pour chaque couple il y a deux issues : on les permute ou pas donc 210 issues

210 * 20 * 10! / 20! = 210 * 10! / 19! 3 * 10-8

Posté par
lrs2020
re : Probabilités problème 15-01-21 à 20:35

Merci beaucoup ! J'ai pu comprendre.

Posté par
carpediem
re : Probabilités problème 15-01-21 à 21:28

de rien ...

cependant tu remarqueras que je n'ai pas le même résultat que toi ... et tu n'as pas répondu à ma question ...

PS : je ne prétends pas avoir raison ...

as-tu eu une démonstration ?

Posté par
ty59847
re : Probabilités problème 16-01-21 à 00:00

Bonsoir,
il n'y a pas 20 choix pour la 1ère place, mais seulement 2.  
Ou si on dit qu'il y a 20 choix, il faut remplacer le 10! par 9!, mais ça devient difficile à expliquer.

Pour s'en convaincre, on peut compter tous les cas quand il y a 3 couples par exemple.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités problème 16-01-21 à 08:13

Bonjour,
Une proposition :
En considérant que le nombre de cas possibles est 20!
Pour les cas favorables, je parle de biplaces pour 2 places adjacentes.
On peut choisir de 2 manières différentes les 10 biplaces où vont se placer les couples.
Il y a ensuite 10! manières d'y disposer les 10 couples.
Chaque couple a 2 manières de s'installer dans sa biplace.
Avec tout ça, je trouve environ 310-9 comme probabilité.
Plus précisément : 2/654729075.

Posté par
carpediem
re : Probabilités problème 16-01-21 à 09:11

ha oui parler de "biplaces" est une bonne idée ... cependant je ne comprends pas ces phrases :

ty59847 @ 16-01-2021 à 00:00

il n'y a pas 20 choix pour la 1ère place, mais seulement 2.

et
Sylvieg @ 16-01-2021 à 08:13

On peut choisir de 2 manières différentes les 10 biplaces où vont se placer les couples.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités problème 16-01-21 à 09:14

Je réponds pour les biplaces :
Si les 20 places sont numérotées de 1 à 20, on peut choisir
(1,2) , (3,4) , .... , (19,20) ou (2,3) , (4,5) , .... , (18,19) , (20,1).

Posté par
carpediem
re : Probabilités problème 16-01-21 à 09:23

ha mais oui tout simplement !!

merci

et c'est en fait la même idée pour ce que dit ty59847

ta notion de "biplace" éclaire bien les choses : je me suis focalisé sur une personne du couple alors que considérer le couples permet de corriger cette erreur

Posté par
ty59847
re : Probabilités problème 16-01-21 à 10:42

Oui, l'explication sur les bi-places est la première étape du raisonnement.
On a une personne en place n°2. Son conjoint doit être sur la place n°1 ou la place n°3.
S'il est en place n°1, alors les autres couples seront sur les biplaces (3-4, 5-6 ... etc), et s'il est sur la place n°3 , alors les autres couples seront sur les biplaces(4-5, 6-7, ... etc).
On a donc 2 dispositions possibles.

Autre exercice : souvent, si on a 10 hommes + 10 femmes à disposer autour d'une table, on alterne hommes et femmes.
Sachant qu'on a disposé les 20 personnes en alternant hommes et femmes, quelle est la probabilité que chacun se trouve à côté de son conjoint.
Je suppose bien sûr que tous les couples sont des couples hétéros.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Probabilités problème 16-01-21 à 11:17

Pourquoi ne pas le poser en exercice dans le forum détente ?

Posté par
PLSVU
re : Probabilités problème 16-01-21 à 18:38

Bonsoir,
En considérant que le nombre de cas possibles est 20!
3   personnes autour d'une table ronde     6 possibilités ?  
    soit   I  C  S        autour d'une table ronde
à droite de C       deux possibilités I ou S
   2 possibilités   ICS   ou S CI
  ce qui compte les 2 voisins , pas la  place de la chaise , à  mon avis
Bon appétit

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