A l'issue d'une compétition,des sportifs sont contrôlés
par un comité anti-dopage qui doit se prononcer sur leur positivité
ou négativité au dopage.Or, d'une part, certains produits dopants
restent indétectables aux contrôles, d'autre part, certains
médicaments ont un effet de dopage inconnu du sportif. Le comité
prend donc sa décision avec un risque d'erreur. On note :
- D l'évènement "le sportif est dopé"
- O l'évènement "le sportif est déclaré positif"
- E l'évènement "le comité a commis une erreur"
1.dans cette question, on suppose que parmi les sportifs 50% ne sont pas
dopés et que la probabilité d'être déclaré positif est indépendante
de l'état réel du sportif (dopé ou non dopé). Lors d'une
étude sur des compétitions antérieures, on a pu observer que ce comité
déclarait positifs 20% des sportifs. On choisit un sportif au hasard.
Calculer :
- la probabilité que le sportif soit non dopé et déclaré positif
- la probabilité que le sportif soit dopé et déclaré négatif
- la probabilité de l'évènement E
2. dans cette question ,on note p la fréquence des dopés parmi les sportifs
contrôlés. On suppose que la probabilité d'être déclaré positif
n'est pas la même selon que le sportif est réellement dopé ou
non :
- la probabilité qu'un sportif dopé soit déclaré positif est 0.9
- la probabilité qu'un sportif non dopé soit déclaré positif est
0.1
on choisit un sportif au hasard
a) construire un arbre pondéré illustrant la situation
b) Calculer la probabilité de E
c) Calculer, en fonction de p, la probabilité que ce sportif soit déclaré
positif
d) on s'intéresse à la probabilité qu'un sportif ayant été
déclaré positif soit réellement dopé. Montrer que cette probabilité,
notée
f(p), est définie par :
f(p)= 0.9p/(0.8p+0.1)
Résoudre l'inéquation f(p) supérieur ou égal à 0.9. Interpréter ce résultat.
Merci