bonjour voici un exercice sur les probas qui utilisent les suites .J'ai esaye de repondre a quelques questions mais je ne suis pas sur qu'elles soient justes.

2 joueurs A et B conviennent du jeu suivant qui se presente comme une succession de parties:
_ au depart A et B misent 1 euro et lancent chacun  une piece .Si A amene PILE  et B  FACE ,le jeu s'arrete A recupere la mise des 2 joueurs  
si  B a PILE et A FACE le jeu s'arrete B recupere les mises .Sinon  dans les autres cas  la partie est nulle  les joueurs doublent la mise et engagent une nouvelle partie.
Cela ce deroule jusqu'a qu'il y ait un gagnant ou que la vingtieme partie s'acheve sur un nul dans laquelle les joueurs leurs mises respectives.

POur tout entier n de 1 à 20 on considere les evenements
An"le jeu se termine à la n ième partie par le gain de A"
Bn"Le jeu se termine à la n ième partie par le gain de B"
Mn"la n ième partie est une partie nulle"
on pose     Xn=P(An)  Yn=P(Bn)     Zn=P(Mn)

1)a)Calculer   X1  Y1  et   Z1
X1=1/4    Y1=1/4      Z1=1/2
b)MOntrer que  Xn+1=1*(Zn) /4         Yn+1=1(Zn)/4    Zn+1=1(Zn)/2    

c)En deduire    Xn=(1/2)^(n+1)     Yn=(1/2)^(n+1)   Zn=(1/2)^n
j'ai fait cette question  :
2)On considere la variable aleatoire D  "nombre d'euros mis en jeu lors de la partie qui conclut le jeu" c'est a dire recuperes par le gagnant ou partage entre le 2 joueurs
dans le cas ou le s'acheve sur un nul.
Si le jeu s'achève à la k ième partie on a ainsi : D=2^k
a)Donner l'expression numerique de la plus grande valeur que peut prendre D (20)     X=2^20
b)Calculer  P(D=2^20)       je ne suis pas sur mais j'ait que P(D=2^20)=(1/2)^19         car la probabilité d'atteindre la vingtieme partie est la meme chose que la probabilité que la 19 eme partie s'acheve sur un nul


voici les seules 2 questions de l'exercice que je n'ai pas pu faire , en fait seule  la c) est vitale
c)Pour k entier de 1 à 19 exprimer l'evenement "D=2^k" à l'aide des evenements Ak et Bk  ,en deduire P(X=2^k)

d)calculer l'esperance mathematique de X  

merci beaucoup de vouloir m'aider j'espere que je n'abuse pas de votre aide.