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problem en geometrie "distance d un point a une droite"
Jai un probleme en geometrie si quelequ'un peu maider merci d'avance et bonne fete a tous
Dans un repère orthonormé (O;i;j), on definit le point A(-2;5) et la droite d d'equation y= -3x + 1
1) 1er methode
On note H le projeté orthogonal de A sur d
a)Donner deux equation liant les coordonnées de H
calculer les coordonnées de H
b)déterminer la distance AH
2)2eme methode
a) Démontrer que le point B(1;-2) est un point de d
b)on note u le vecteur directeur de d de coordonnées (1;-3)
expliquer pourquoi dire qu'un point M appartient a d revient a dire qu'il existe un réel k tel que BM=ku (les vecteurs BM et ku)
c)trouver le minimum de la fonction f definie sur R par f(k)=10k²+48k+58 calculer AM²
d) conclure
Bonjour,
Quelques idées :
1) 1er methode
a)
H appartient à la droite d.(1ère équation)
De plus la droite (AH) est perpendiculaire à d et passe par A. (2ème équation)
On obtient donc un système de deux équations à deux inconnues que tu dois savoir résoudre.
b)déterminer la distance AH
On utilise la formule
AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²
2)2eme methode
a) Démontrer que le point B(1;-2) est un point de d
On verifie que les coordonnées de B vérifient l'équation de d.
b)on note u le vecteur directeur de d de coordonnées (1;-3)
expliquer pourquoi dire qu'un point M appartient a d revient a dire qu'il existe un réel k tel que BM=ku (les vecteurs BM et ku)
Cela se traduit pas le fait que BM est un vecteur colinéaires au vecteur u.
c)trouver le minimum de la fonction f definie sur R par f(k)=10k²+48k+58
calculer AM²
On utilise la dérivée ou la forme canonique pour déterminer le minimum de la fonction.
On utilise ensuite le fait que la distance d'un point à une droite est la plus courte distance de ce point à un point de la droite.
Tu dois trouver AM²=10k²+48k+58
Bonnes fêtes de fin d'année à toi aussi.
@+
merciii victor jai vai essayer d'y arriver avec sa a+ merci
tu t planter je croi victor la droti AH est pas perdencilaire a d
:o
C'est la définition du projeté orthogonal !
Le projeté orthogonal d'un point A sur une droite d est le point H de la droite d tel que (AH) soit perpendiculaire à d.
a ouai *** ta raison moi javai vu sa comme ah paralele a laxe des ordonner en faite
oki pase ke jarrive pas a determiner cette equation
Jai tt essayer depui taleur et je voi pas du tt comment fair pour trouver la 2eme equation est-ce quelqu'un pourai m'aider
Première méthode :
on utilise le fait que le produit de deux coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires est égal à -1.
Deuxième méthode :
en écrivant la première équation sous la forme :
3x+y-1=0
un vecteur normal a pour coordonnées (3;1).
Avec la première méthode, on obtient que le coeff. directeur est 1/3 donc
y=1/3x+p
De plus cette droite passe par A donc cela permet de déterminer p.
@+
a dacorddd merci pour ton aide a+ bonne fete a toi et envor merci
juste une derneir question avec les coordoner kon trouve on utilise le fait que AH.d=0 mai ensuite tu trouve quoi comme equation ?
toujours cel ou faut trouver les 2 equation pour caclculer les coordonées de H
C'est bien parce que c'est bientôt Noël :
Première équation : y=-3x+1
Deuxième équation : y=x/3+17/3
D'où
0=10x/3+14/3
x=-14/10=-1,4
y=5,2
Donc H(-1,4;5,2)
AH²=(-1,4+2)²+(5,2-5)²
AH²=0,36+0,04=0,4
A vérifier.
@+
oki merci c super sympa de ta par mai en faite je regarde sur la figure je pense t resulata sont bon c sur mm le seul truc en faite c ke je voudrai comprend comment on fait pour arriver a y=x/3+17/3
merci
Je reprends ce que j'ai déjà écrit:
on utilise le fait que le produit de deux coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires est égal à -1.
On obtient donc que le coeff. directeur est 1/3 donc
y=1/3x+p
De plus cette droite passe par A donc cela permet de déterminer p. En effet on a : A(-2;5) appartient à cette droite.
donc yA=xA/3+p
soit 5=-2*1/3+p
donc p=5+2/3=17/3
A toi de vérifier tout ça.
a dacord oaui je comrpend ce ke tu veu fair mai si jai pas utiliser sa c ke en faite on a pas vu cette proprieter en 1erS elle est admise ou pas ?
Tu dois pouvoir l'utiliser sans problème. Je crois qu'on voit cette propriété en seconde et on la voyait même en 3ème, il y a quelques années.
a dacord je voi mai le coef directeur il est alors egal a -1/3 nan ?
Le produit doit être égal à -1 et le premier coefficient directeur est -3.
-3 * m = -1 donc m = 1/3.
a oaui escuse javia pri 3 c pour saa dacord merci beaucoup pour ton aide
lol dacord san pb vai fair deja tt sa et si je bloque je te redemanderai sisa te gene pas biensr aller a + tard peu etre
juste une derniere question tt le reste jai reussi mai le minimum de la fonction ds la question 2c on peu le trouve en faisai -b/2a tu sai le somme tde la parobole ici c le minimum nan ?
Exactement, c'est l'abscisse du minimum.
Il reste ensuite à calculer f(k) pour k=-b/2a pour déterminer la valeur du minimum.
a oki merciii jai fait tt lexo et jaireussi tt les truc sauf pour AM² j'arrive pas a faire aparaitre k en faite
est-ce que quelqu'un pourai maider pour la question 2c ???? merci
Salut vince_77 
Pour la question 'trouver le minimum de la fonction f definie sur R par f(k)=10k²+48k+58',
Parmi les deux méthodes que te suggérait Victor dans son premier message :
Pourquoi ne pas dresser le tableau des variations de f ?...
Commence déjà par calculer la dérivée de f...
Pour les variations, il te faut étudier le signe de f'(k) (et donc en particulier, tu auras les solutions de l'équation f'(k)=0...)
Remarque :
tu peux bien entendu préférer l'autre méthode que Victor te suggérait : puisque f(k) est un trinôme du second degré, tu peux mettre f(k) sous forme canonique...
Bons calculs
Emma
a mercii mai on peu pas utiliser le fait directement que comme Cf est un paroble et sont sommet est aussi le minimum on obtien donc le minimum avec -b/2a nan ?
mai en fait cette parti je pense ke sa va ds la question ce que j'arrive pas c calculer AM² en faite
Je ne sais pas si tu peux l'utiliser directement...
Mais c'est ce qu'il y a derrière...
Regarde :
si f(x) = a.x² + b.x + c
alors f'(x) = 2.a.x + b
et donc [f'(x) = 0] 
[x = - b/2a]
Donc f admet un extremum en x = - b/2a
Par contre, si je te disais d'étudier les variations de f, c'est pour justifier que cet extremumétait bien un minimum...
Mais en fait, si le coefficient de a est positif, c'est un minimum, et si a<0, c'est un maximum 
A toi de voir, en fonction de ce que vous a dit ta prof, si tu as le droit de l'utiliser directement
@+
Emma
a dacord merci ouai ta raison et on peu utiliser sa en le justifiant mmerci bcp c tre gentil et jaurai voulu te demander comment on peu fair pour calculer AM² en faite c la ou jai un peu de mal merci davance
escuser moi jaurai besoin d'aider pour calculer AM² je blok et jy arrive pas merci d'avance
A a pour coordonnées (-2;5)
et M a pour coordonnées (1+k;-2-3k) (d'après l'égalité vectorielle BM=ku)
Donc
AM²=(xM-xA)²+(yM-yA)²
AM²=(1+k-(-2))²+(-2-3k-5)²
AM²=(3+k)²+(-7-3k)²
AM²=... (à développer)
...
AM²=10k²+48k+58=f(k)
A toi de jouer
merci victor pour sa jai reussi escuser moi encor une derniere question juste pour montrer ke BM=ku (les vecteu BM et U) comment on fait enfin faut montrer kil son coolineaire mai je voi pas comment faire
je trouve ke le vecteur Bm il a pour coordonner(x-1;y+2)
et le vecteur ku(k*1;k*-3)
et on sai ke M(x;y) verifie y=-3x+1
mai apres je voi pas torp
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