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probléme
Soit f la fonction défini par : f (x) = (2x+1)/( x-1)
on note (C) sa courbe représentative dans un repére orthonormale (O;i ;j )
1) étude de la fonction f.
a) donner son ensemble de définition DF.
b) étudier les limites aux bornes de DF et en déduire les asymptotes.
c) étudier les variations de f.
d) tracer (C).
2) soient A et A' les points d'abscisses respectives 2 et 0 de (C).
Déterminer les équations des tangentes à (C) en A et en A'.
3) Soit m un réel et soit (Dm) la droite d'équation y=-3x + m
Déterminer en fonction de m, les coordonnées des points d'intersection de (C) et de (Dm).
4) Dans les cas où( C) et (Dm) ont deux points d'intersection , que l'on appellera M et N , determiner , en fonction de m , les coordonnées du milieu I du segment MN.
5) Quel est l'ensemble décrit par I lorsque m varie dans 
??
Bonjour,
1)
Df = ]-
;1[
]1;+[
f(x) = (2x+1)/(x-1) = (2x-2+3)/(x-1) = (2(x-1)+3)/(x-1) = 2+[3/(x-1)]
f'(x) = -3/(x-1)² < 0 pour tout x 
]-;1[]1;+[
Donc f est strictement décroissante sur ]-;1[ et strictement décroissante sur ]1;+[
lim f (-) = 2
lim f (1-) = -
lim f (1+) = +
lim f (+) = 2
2)
f'(2) = -3
f(2) = 5
La tangente à (C) en A a pour équation y = -3(x-2)+5, qui s'écrit y = -3x+11
f'(0) = -3
f(0) = -1
La tangente à (C) en A' a pour équation y = -3(x-0)-1, qui s'écrit y = -3x-1
3)
Soit x 
1
f(x) = -3x+m 
(2x+1)/(x-1) = -3x+m
2x+1 = (-3x+m)(x-1)
2x+1 = -3x²+mx+3x-m
3x²-(m+1)x+(m+1) = 0
On a une équation du second degré en x, dont le discriminant vaut 
= (m+1)²-12(m+1) = (m+1)(m+1-12) = (m+1)(m-11)
Si m ]-1;11[, alors < 0, alors l'équation n'a pas de solution dans R
Si m = -1, alors l'équation s'écrit 3x² = 0, et a une seule solution 0
Si m = 11, alors l'équation s'écrit 3x²-12x+12 = 0, qui s'écrit 3(x²-4x+4) = 0, qui s'écrit 3(x-2)² = 0, et a une seule solution 2
Si m ]-;-1[]11;+[, alors > 0, alors l'équation a deux solution distinctes [(m+1)-√((m+1)(m-11))]/6 et [(m+1)+√((m+1)(m-11))]/6
Donc :
Si m ]-1;11[, alors (C) et (Dm) n'ont pas de point d'intersection
Si m = -1, alors (C) et (Dm) ont un point d'intersection, de coordonnées (0;-1)
Si m = 11, alors (C) et (Dm) ont un point d'intersection, de coordonnées (2;5)
Si m ]-;-1[]11;+[, alors (C) et (Dm) ont deux points d'intersection, de coordonnées ([(m+1)-√((m+1)(m-11))]/6;[(m-1)+√((m+1)(m-11))]/2) et ([(m+1)+√((m+1)(m-11))]/6;[(m-1)-√((m+1)(m-11))]/2)
4)
M ([(m+1)-√((m+1)(m-11))]/6;[(m-1)+√((m+1)(m-11))]/2)
N ([(m+1)+√((m+1)(m-11))]/6;[(m-1)-√((m+1)(m-11))]/2)
I ((m+1)/6;(m-1)/2)
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