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Niveau troisième
Probleme à résoudre
Posté par Falt4rm
Bonjour à tous,
Je vous remercie d'avance de vos conseils/réponses.
Mes années de Lycée scientifique étant lointaines, j'ai malgré tout obtenu la réponse au pbm suivant mais d'un manière non rigoureuse (j'aide ma soeur dans ces devoirs de 3eme).
On multiplie 1999 par un nombre
de 1999 chiffres tous égaux à 1.
Quelle est la somme des chiffres du produit obtenu ?
Je me posais la question s'il y avait une generalisation possible à ce pbm ?
(j'ai utilisé 2000-1 pour me sortir d'affaire et j'ai posé la soustraction pour pouvoir avoir la taille du nombre).
Merci davance,
Sebastien
salut
avec quelques premiers essais
en multipliant 1999 par 11111 tu obtiens 222 1 0889
par 111111 tu obtiens 222 11 0889
par 1111111 tu obtiens 222 111 0889
par 11111111 tu obtiens 222 1111 0889
par 111111111 tu obtiens 222 11111 0889
donc en multipliant 1999 par un nombre contenant n "1" avec n
5 on observe que le nombre
de "1" centraux contenus dans le produit est à chaque fois diminué de 4 , donc en mutlipliant 1999 par un nombre
contenant 1999 "1" le nombre de "1" centraux sera egal à 1999-4 = 1995
donc la somme fait 2+2+2 + 1995 +0 +8 +8 +9 = 2026 sauf erreur
Bonjour,
Merci de votre reponse.
J'ai trouvé le mm resultat en procedant comme suit :
1999 = (2000-1) = (2*10^3 -1)
Je remplace :
222....2*10^3 - 111...111
Mais ce qui m'amusait en realité c'est l'eventualité d'une generalisation par récurrence.
J'ai remarqué :
1999 -- N=1
21889 -- N=2
221889 -- N=3
2220889 -- N=4
En prenant les rapports N+1/N, nous avons :
10,94 -- N=1
10,13 -- N=2
A PARTIR DE MAINTENANT :
10,009... -- N=3
10,0009... -- N=4
10,00009... -- N=5
Je n'ai pas reussi a fabriquer de suite (c'est pour ca que j'ai calculé les rapports car je n'avais pas d'idée pour faire emerger une formule a propos.
J'ai realisé une autre manipulation
(N+1) - N
pour tout N =>1
1999*10 -- N=1 (21889-1999=19990)
1999*100 -- N=2 (221889-21889)
19999*1000 -- N=3 (2220889-221889)
...
Cela nous donne une suite geometrique. Je ne sais pas si ca peut servir
Ensuite la somme des chiffres pour tout N=>1
28 -- N=1 (1999)
29 -- N=2 (21989)
30 -- N=3 (221889)
31 -- N=4 (2220889)
Je me retrouve en face d'une suite arithmetique.
Un = 28+(N-1)
U1999 = 28+(1999-1) = 2026
Mon pbm est alors le suivant - Comment justifier l'existence de cette suite (prouver que Un+1 est vrai) ?
Merci d'avance 
Bonjour
trois ans après ...
Le posteur de l'époque a dit :
Je remplace :
222....2*10^3 - 111...111
on a donc un nombre qui contient 1998 chiffres "2", suivis des chiffres "2000", auquel on enlève un nombre constitué de 1995 chiffres "1", suivis des chiffres "1111"
quand on pose la soustraction, on obtient un premier nombre de 1998 chiffres, qui commence par "222", suivi de 1995 chiffres "1", et qui termine par 2000 - 1111 = 889
total des chiffres : 2+2+2 + 1995 + 8 +8+9 = 2026