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Problème avec des robinets
Bonjour,
Pour nous dire quels étaient les problèmes d'il y a 60 ans, le prof de 1ère nous a donné ce petit problème qui s'est retrouvé être plutôt difficile :
2 robinets remplissent un réservoir en 6h40. En combien de temps chacun séparément remplirait le réservoir si l'un met 3h de moins que l'autre pour le remplir ?
Il nous a donné le début de la solution et de la rédaction :
Soit t1 le temps que met le robinet avec le débit le plus fort et t2 le temps que met le robinet avec le débit le plus faible pour remplir le réservoir.
t1 met 3h de moins que t2 pour le remplir :
t1 = t2 - 3
Donc comme ça, on ne doit pas convertir les heures en minutes mais laisser le tout en heures (donc 6h40 = (20/3)h).
Je n'arrive donc pas à trouver la deuxième équation pour résoudre le système.
Aidez-moi s'il vous plaît !
En vous remerciant pas avance.
Bonjour Pokedeus,
Il faut voir :
- que les débits (horaires) des deux robinets s'ajoutent,
- que le débit horaire d'un robinet i est V/ti , si V est le volume du réservoir.
Apprès de nombreuses années à avoir patienter ici... voici la bonne réponse, amigo !
Tu étais plutôt bien parti mais pas besoin de 2 inconnues...
Soit x le temps en heures que prend le robinet le plus rapide pour remplir le réservoir.
Le robinet le plus lent met alors x+3 heures pour le remplir.
En une heure, le robinet le plus rapide remplit 1/x du réservoir, tandis que le robinet le plus lent remplit 1/(x+3) du réservoir.
Converti en heures, 6 heures 40 minutes fait 6 + 2/3 d'heures. En une heure, les deux robinets remplissent donc 1/(6+2/3) du réservoir. Vous suivez là ou faut que j'explique plus en détail ?
On a donc l'équation suivante :
1/x + 1/(x-3) = 1/(6+2/3)
En multipliant chaque terme par le dénominateur commun x(x-3)*(6+2/3), on obtient :
(6+2/3)(x-3) + (6+2/3)x = x(x-3)
<=> (6+2/3)x-20+(6+2/3)x = x²-3x
<=> (13+1/3)x - 20 = x²-3x
<=> x² - (16+1/3)x + 20 = 0
Sans rentrer dans les détails, cette équation comporte 2 solutions, x=15 et x=4/3.
A présent 2 possibilités s'offrent donc à nous :
- soit le robinet le plus rapide met 1h20 à remplir seul le réservoir et le plus lent 1h20+3 = 4h20 seul
- soit le robinet le plus rapide met 15h et le plus lent 15+3=18h
Selon toute logique, un seul robinet ne peut pas remplir le réservoir plus vite que les 2 en même temps, c'est donc la 2ème possibilité qui est la bonne !
Désolé je viens de me rendre compte d'une petite erreur de signe qui s'est glissée dans mon calcul, voici la démonstration corrigée :
On a donc l'équation suivante :
1/x + 1/(x+3) = 1/(6+2/3)
En multipliant chaque terme par le dénominateur commun x(x+3)*(6+2/3), on obtient :
(6+2/3)(x+3) + (6+2/3)x = x(x+3)
<=> (6+2/3)x + 20 + (6+2/3)x = x²+3x
<=> (13+1/3)x + 20 = x²+3x
<=> x²-(10+1/3)x-20=0
Sans rentrer dans les détails, cette équation comporte 2 solutions, x=12 et x=-5/3.
En éliminant logiquement la solution négative, on trouve un robinet qui se vide en 12h et l'autre en x+3 = 15h.
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