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Problème avec la définition d'un extremum local.
Bonjour
Dans les articles et les livres, je lis qu'une fonction f définie sur un intervalle I admet un extremum local en lorsque qu'il existe un intervalle ouvert inclus dans I contenant
tel que, pour tout x de cet ouvert,
(dans le cas d'un maximum local)
Mais je suis ennuyée, parce qu'il y a des cas où la fonction f peut être constante sur un intervalle contenant .
Je trouve que c'est un peu compliqué à enseigner à des élèves de première, je préférerais une définition où soit la seule valeur de l'intervalle ouvert pour laquelle on ait l'égalité.
Une telle définition serait-elle incorrecte ?
Bonjour
On ne peut pas changer les définitions pour faire plaisir aux élèves de première. Pour dire que c'est un maximum local, il faut bien comparer à ce qui se passe autour...
Si est constante, chaque point est un extremum (minimum ET maximum) local.
Tu n'as pas pensé (pour cause, tu n'en as jamais vu) à d'autres situations... Il y a des fonctions qui prennent une infinité de fois la valeur du maximum dans chaque intervalle, SANS être constantes!
Ceci étant dit, si la valeur est prise une seule fois, on dit que c'est un maximum local STRICT.
Merci Camélia. Mon problème, c'est comment illustrer cette définition aux élèves sans les embrouiller avec tous les cas particuliers où l'on n'a pas une fonction dérivable dont la dérivée s'annule et change de signe ? Je veux pas qu'ils s'imaginent que seul ce cas illustre la définition, ce serait les induire en erreur !
Désolée, je ne savais pas que tu étais prof! A mon avis, en 1ère, tu dessines quelques courbes, une conetante suivie d'une affine, ou une pointe, (c'est non dérivable) tu expliques la définition, (avec l'intervalle autour, ou au moins d'un côté) puis tu passes qu cas dérivable...
En revanche, tu peux bien insister sur la différence entre strict ou pas!
Merci, je vais voir comment tourner le cours.
J'essaie d'être synthétique car les élèves n'arrivent à retenir que peu de choses (J'en fais travailler en soutien en ce moment), j'essaie de vraiment cibler l'essentiel afin d'exiger que ce soit parfaitement su.
Je pense que je vais donner la définition générale, puis l'illustrer avec "le cas qui nous intéresse dans cette leçon" en disant qu'il y en a d'autres mais sans préciser lesquels. (Sauf si on me demande !)
Un de mes collègues donne la définition suivante : f(x_0) est un maximum local sur I signifie que sur un intervalle ouvert J inclus dans I et contenant x_0, f(x_0) est un maximum. Pourquoi pas... Même si les élèves ont oublié ce qu'est précisément un maximum, c'est une notion assez intuitive.
Bonne fin d'après-midi !!
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