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problème avec le calcul d 1 espérance ...

Posté par
lyonnais 20-05-05 à 23:53

Bonsoir à tous :

Voici un exo assez complexe que mon prof a donné à ceux qui voulaient aller plus loin que ce qui était demandé au bac. J'ai bien avancé, mais il me reste le plus dure à faire ...
Pourriez-vous m'aider ?

on a   3$ p(X=n)=\frac{2^{n-1}-2}{3^{n-1}}

on dispose du tableau suivant :

3$ \rm \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}x_i & 3 & 4 & ... & n & ... & \\p(X=x_i) & \frac{2^2-2}{3^2} & \frac{2^3-2}{3^3} & ... & \frac{2^^{n-1}-2}{3^{n-1}} & ... & \\\end{tabular}

il faut que je calcule l'espérance de la variable aléatoire X quand n\to +\infty

C'est à dire il faut que je calcule :

E(X)=x_i\time p(X=x_i)

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
lyonnaisre : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 09:32

y a-t-il quelqu'un qui pourrait me venir en aide svp ?



Posté par
cqfd67re : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 09:48

salut

il manque le signe somme

E(X)=sum (k*P(X=k),k=0..i+oo)

et apres regardons comment faire

Posté par
Titi de la TS3? 21-05-05 à 09:54

je suis là

Posté par
Titi de la TS3re : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 09:56

pas trés facile comme somme moi jé fais sa
E(X)=xip(X=xi)
donc
E(X)=3*(2^(3-1)-2)/(3^(3-1))+....+ n*(2^(n-1)-2)/(3^(n-1))+..

Il faut dertiner une suite un tel que la somme de tout les termes de cette suite soit égale à E(X).
Tu sais que P(X=n)=(2^(n-1) -2)/(3^(n-1))
                  = (2/3)^(n-1) - 2*n((1/3)^(n-1))
donc
E(X)=[3(2/3)^(3-1)+4(2/3)^(4-1)+...+n(2/3)^(n-1)]-2[3((1/3)^(3-1))+4*((1/3)^(4-1))+...+n((1/3)^(n-1))]
mais c'est aussi égale à:

E(X)=(3/2)[3(2/3)^3+4(2/3)^4+...+n(2/3)^n+(n+1)(2/3)^(n+1)]-2*3[3(1/3)^3+4(1/3)^4+...+n(1/3)^n+(n+1)(1/3)^(n+1)]

je pense que tu reconnaitras les deux suites
un=n(1/3)^n et vn =n(2/3)^n
Alors je ne sais si sa va aider!!!! parce qu'ensuite je n'arrive pas à montrer que unet vn sont 2 suites géo. Quelqu'un a une idée?

Posté par nonoparadox (invité)re : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 11:29

Alors moi j'ai fait ça :

E(X)=\sum{x_{i}P(X=x_{i})}=\Bigsum_{i=3}^{n}i\frac{2^{i-1}-2}{3^{i-1}}=\Bigsum_{i=3}^{n}i{\big(\frac{2}{3}\big)}^{i-1}-2\Bigsum_{i=3}^{n}i\big(\frac{1}{3}\big)^{i-1}

Si on pose f_{i}(x)=x^{i} , on a donc f'_{i}(x)=ix^{i-1}

Donc \Bigsum{ix^{i-1}}=\Bigsum{f'_{i}(x)}=\Big(\Bigsum{f_{i}(x)}\Big)^{'}=\Big(\Bigsum_{i=3}^{n}{x^{i}}\Big)^{'}=\Big(x^{3}\times\frac{1-x^{n-2}}{1-x}\Big)^{'}=3x^{2}\times\frac{1-x^{n-2}}{1-x}+x^{3}\times\frac{-(n-2)x^{n-3}(1-x)+(1-x^{n-2})}{(1-x)^{2}}

Ainsi, E(X)=\Bigsum_{i=3}^{n}f'_{i}(\frac{2}{3})-2\Bigsum_{i=3}^{n}f'_{i}(\frac{1}{3})=3\Big(\frac{2}{3}\Big)^{2}\times\frac{1-\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n-2}}{1-\Big(\frac{2}{3}\Big)}+\Big(\frac{2}{3}\Big)^{3}\times\frac{-(n-2)\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n-3}(1-\Big(\frac{2}{3}\Big))+(1-\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n-2})}{(1-\Big(\frac{2}{3}\Big))^{2}}-2\Big[3\Big(\frac{1}{3}\Big)^{2}\times\frac{1-\Big(\frac{1}{3}\Big)^{n-2}}{1-\Big(\frac{1}{3}\Big)}+\Big(\frac{1}{3}\Big)^{3}\times\frac{-(n-2)\Big(\frac{1}{3}\Big)^{n-3}(1-\Big(\frac{1}{3}\Big))+(1-\Big(\frac{1}{3}\Big)^{n-2})}{(1-\Big(\frac{1}{3}\Big))^{2}}\Big]
=4\times\Big(1-\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n-2}\Big)+\frac{8}{3}\times\Big(-\frac{1}{3}(n-2)\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n-3}+(1-\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n-2})\Big)-2\Big[\frac{1}{2}\Big(1-\Big(\frac{1}{3}\Big)^{n-2}\Big)+\frac{1}{12}\Big(-\frac{2}{3}(n-2)\Big(\frac{1}{3}\Big)^{n-3}+(1-\Big(\frac{1}{3}\Big)^{n-2})\Big)\Big]

Et maintenant, passons à la limite en faisant tendre n vers l'infini ...
Je trouve comme limite (mais avec tout ça , les erreurs de calcul sont plus que probables...) : 4+\frac{8}{3}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{12})

La réponse que je trouve est : 33/6

D'autres avis ?

Posté par
lyonnaisre : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 14:47

merci beaucoup nonoparadox :

Ca c'est ce que j'appelle du calcule ! Merci d'avoir pris le temps de tout tapper en latex. Je sais par expérience que c'est assez long ...

Il m'a l'air parfait ton calcul. En plus, j'ai très bien compris ta démarche. Je crois que c'est comme cela qu'il fallait procéder !

Merci beaucoup, tu mérites ton   ... enfin, 9,5/10 , parce que 33/6 = 11/2 lol   ->  nan , nan , je plaisante

je tiens aussi à dire merci à cqfd67 et a Titi de la TS3 qui ont encore une fois essayés de m'aider ...

merci, merci , merci à tous

lyonnais

Posté par nonoparadox (invité)re : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 15:02

mdrr !!
J'ai fait un énorme calcul, mais j'ai même pas pensé à simplifier une petite fraction de rien du tout !!! looool

Oui c'est assez long c'est vrai, mais je voulais savoir si ma résolution était juste...apparemment, ça t'a plu ... si quelqu'un n'est pas d'accord, qu'il le dise maintenant ou qu'il se taise à jamais ! lol

Je sais pas quel était l'énoncé à la base, mais c'est cohérent de trouver 11/2 ?





Posté par nonoparadox (invité)re : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 15:02

mdrr !!
J'ai fait un énorme calcul, mais j'ai même pas pensé à simplifier une petite fraction de rien du tout !!! looool

Oui c'est assez long c'est vrai, mais je voulais savoir si ma résolution était juste...apparemment, ça t'a plu ... si quelqu'un n'est pas d'accord, qu'il le dise maintenant ou qu'il se taise à jamais ! lol

Je sais pas quel était l'énoncé à la base, mais c'est cohérent de trouver 11/2 ?





Posté par nonoparadox (invité)re : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 15:02

oups j'ai cliqué deux fois , désolé ...

Posté par
lyonnaisre : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 15:08

ouai, mdr nonoparadox :

l'énoncé à la base était le suivant :

" Ginette, un collectionneuse pationnée souhaite posséder les trois CD de musiques différent qui sont glissés dans un paquet de céréales. En moyenne, au bout de combien d'essai pris de façon aléatoir arrivera t - elle a obtenir les 3 CD voulus ?

donc 5,5 essais ça me semble pas mal ...

T'en penses quoi ?

lyonnais

Posté par nonoparadox (invité)re : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 15:09

beuh ... ils disent rien d'autre dans l'énoncé ? Comment t'avais fait pour trouver ta grosse formule avec des n ?

Posté par
lyonnaisre : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 15:11

si si , ils disent autres choses dans l'énoncé, mais la tu vois, j'ai la flème de le tapper en entier ...

En fait, pour tout te dire, on a fait l'exo avec le prof et on est arrivé à la question de l'espérance avec la formule donnée de p(X) .

Mais, ça m'a l'air pas mal 5,5 coup ...

Posté par nonoparadox (invité)re : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 15:15

oui oui , en fait j'avais aussi la flemme de lire tout l'énoncé !!
Mais si tu trouves ça cohérent , tant mieux !!!

Posté par
lyonnaisre : problème avec le calcul d 1 espérance ... 21-05-05 à 15:17

et ba comme ça, on est d'accord tout les deux lol

En tout cas, merci pour ton aide et @+ sur l'

lyonnais


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