"On lance un dé équilibré n fois de suite."
De cette phrase il faut comprendre que la probabilité que chaque face sorte est 1/6 et que chaque jet est indépendant. Si deux évènements A et B sont indépendants on a P(A et B)=P(A)*P(B).

1)Calculer la probabilité pour que sur les n lancers le numéro 6 n'apparaisse aucune fois.
Sur un jet P(6 ne sorte pas)=1-P(6 sort)=1-1/6=5/6
Sur n jets P(6 ne sort pas sur les n jets)=P(6 ne sort pas au 1^er jet)*P(6 ne sort pas au 2^ème jet)*...*P(6 ne sort pas au n^ème jet)=

Est-ce que tu vois mieux comment faire avec n jets?

Isis

Merci,: ces explications sont tres clairs, j'ai compris ce qu'il fallait faire pour le 1) , mais est ce que je peux dire, dés le début, que les lancers sont indépendants?
Donc si je te suis bien pour la question 2 il faudrait trouvé p(6 sort seulement la premiere fois)=(5/6)*(n-1)+1/6???
Merci encore pour cette réponses, c'est sympa de m'avoir répondu.

Quand on jette n fois le même dé, il n'y a pas raison de penser que les jets sont dépendants! Sauf si la personne qui le jette triche...

Pour le (2 a) t'y est presque!
Si X_n est le résultat du n^ème jet on cherche


Il faut pas oublier que les et se transforment en multiplication!

Isis

Merci beaucoup pour ton aide, j'ai essayé le reste de l'exercice, pour le 2 a b et c, je trouve toujours 1/6-(5/6)^n. Est-ce juste?
Pour le 3 a je pose X= nombre de fois ou le 6 sort. Je fais un tableau:
X            0                  1
p(X)     (5/6)^n             1/6-(5/6)^n
Est ce exact?
Par contre le b j'ai des difficultés. Je cherche encore (un peu d'aide ne me ferai pas de mal...)

Pour les autres questions je bloque aussi, pourriez vous m'aider?

La réponse au (2b) est la même qu'au (2a). Parcontre au (2c) c'est un peu différent.
Une seule fois au cours des n lancers c'est seulement au premier lancer ou seulement au deuxième lancer ou seulement au 3^ème lancer ou... Comme ces évènements sont tous disjoints le ou du texte se traduit en + en probabilités.
P(une seule fois en n lancers)=


(3a) P(6 apparaît au plus une fois)=P(6 apparaît 0 ou 1 fois)=P(6 apparaît 0 fois)+P(6 apparaît 1 fois)

(3b) P(6 apparaît au moins deux fois)=P(6 apparaît 2 ou 3 ou 4 ou...ou n fois)= 1 - P(6 apparaît 0 ou 1 fois)

Isis

Alors le 3a ce serai p(6 apparait au plus une fois)=n/6*(5/6)^(n-1)+(5/6)^n c'est ca?
et p(6apparait 1;2;3;...;n fois)=1-n/6*(5/6)^(n-1)+(5/6)^n=P
Normalement ce serai ca?
Sinon, je pense avoir trouvé pour le 4) mais le 5, je pense m'être trompé: j'ai trouvé f'(x)=ln(6/5)*6/5-2/5 mais pour l'étude du signe de f'(x), ca n'est pas logique du tout ce que je trouve...

Je suis d'accord avec ta réponse pour le (3a) et pour le (3b) je serai d'accord dès que tu rajoutes des parenthèses ou que tu changes le signe du dernier terme.

Pour le 5 tu n'es pas loin.

Merci. Donc, en fait, f'(x) n'est pas donné en fonction de x mais en fonction de n. f'(x)>0 pour tout x si ln(6/5)*(6/5)^n>2/5 c'est à dire si n>(2/5)/(2(ln(6/5))). C'est ça? Mais comme f'(x) n'est pas donné en fonction de x, le signe de f'(x) ne peut pas dépendre de n... Je ne comprends pas vraiment ce que je dois faire pour étudier le signe de la fonction...

Je suis désolé de toujours reposé des questions à chacune de tes réponses, je dois soulé à force, mais je veux vraiment comprendre cet exercice pour pouvoir essayé d'avoir la moyenne en maths au bac. Les autres exercices de mon DM sont beaucoup plus facile que celui la... Désolé pour ce long moment de lamentation......

Merci encore pour tes réponses.

salut
ici n est un parametre.
f'(x) est donne en fonction de x.(comme par exemple g(x)=5 g est une fonction constante mais pour tout x g(x)=5 donc c'est donne en fonction de x)
il faut d'abord fixer une valeur pour n. puis une fois fixé. f est definie puis f'. et la on etudie le signe.
(f' etant une fonction constante, le signe restera identique).
si tu changes n , tu changes de fonction, donc l'etude de cette fonction ne sera pas la meme et donc la derivee differente.

en resume pour etudier la fonction f.
1er cas :ln(6/5)*(6/5)^n-2/5>=0
tu resouds cette equation.
pour les valeurs trouvees soit f(x)=...
donc f'(x)=ln(6/5)*(6/5)^n-2/5>=0. donc f est croissante sur R.
tu calcules les limites. puis tableau de variation.
en precisant que c'est le tableau de variations de f pour ln(6/5)*(6/5)^n-2/5>=0.

2 eme cas : meme chose que le premier cas avec
ln(6/5)*(6/5)^n-2/5=<0

Merci de ton intervention minotaure. J'avais même pas remarqué que j'avais melangé les x et des n...

Isis

x[sup][/sup]2+X[sub][/sub]2

eh bien moi c'est pareil... j'ai seulement regarde la reponse de f'(x)=... dans ton message.je n'ai pas verifie si sa valeur etait exacte (la prochaine fois je regarderais f(x) avant).

a+

Je n'arrive pas à trouver le signe de f, j'ai fait toute les autres questions aidez moi, je suis embrouillé avec f'(x) en fonction de x et de n.........:?:?
Merci pour votre aide

S'il vous plait. Expliquez moi, plus rien n'est clair.

on reprend depuis le debut :

je vois que cette question est la conclusion pour un exo sur les probabilite.
tu dis que c'est
f(x)=(6/5)^n-(2+2x/5).

ne serait ce pas plutot f(x)=(6/5)^x-(2+2x/5) ?

car si c'est ce que tu dis je ne vois pas pourquoi on aurait I=R+*
et la derniere question est :
"Montrer que P> ou égal à ½ équivaut à 2+2n/5< ou égal à (6/5)^n".

essayons de comprendre le fil directeur de l'exo :
un sujet sur les probabilite.
on aboutit au fait que P>=1/2 <=> 2+2n/5=<(6/5)^n
mais ceci est une inequation difficile a resoudre.
donc on fait appel a l'analyse :
l'exo introduit une fonction f definie sur R+*
telle que f(x)=(6/5)^x-2-2x/5.

les questions a b et c n'ont pour but que de resoudre l'inequation f(x)>=0.
or  f(x)>=0 et x dans N* <=> n dans N* 2+2n/5=<(6/5)^n

la question 6 est la pour faire la synthese de la question 4 et de la question 5.

je pense qu'il y a la une erreur d'enonce.

f(x)=(6/5)^x-(2+2x/5)

f(x)=e^[x*ln(6/5)]-(2+2x/5)
donc f'(x)=ln(6/5)*e^[x*ln(6/5)]-2/5
donc f'(x)=ln(6/5)*(6/5)^x-2/5

on veut f'(x)>=0 pour x dans I.
f'(x)>=0 <=>ln(6/5)*(6/5)^x-2/5>=0
donc (6/5)^x>=2/[5*ln(6/5)]
la fonction ln est croissante sur R+*.
donc x*ln(6/5)>=ln{2/[5*ln(6/5)]}
donc x>=ln{2/[5*ln(6/5)]}/ln(6/5)

puis etude des limites...
tableau de variations...
dichotomie...

on obtient normalement (j'ai pas verifie)
f(x)>=0 <=> x>=alpha.

9,8>alpha>9,7 (on veut un encadrement a valeurs entieres mais je t'en donne un encore plus precis).

6) d'apres 4 pour repondre a la question pour quelles valeurs de n P>=1/2 il faut resoudre 2+2n/5=<(6/5)^n,n dans N*

la question 5 nous permet de resoudre cette equation dans I et on a n>alpha.
comme alpha >9.
on a n>=10 (ou n>9, meme chose).

donc la reponse a la question 6 est il faut au moins lancer le dé 10 fois.
a+

Merci minotaure et isisstruiss pour vos aides
Vous etes génial

Bonsoir
Je n'arrive pas à avoir la limite de f en + l'infini et à résoudre l'inéquation f(x)>=0 (sachant que 9<alpha<10 et que f est croissante sur [B +l'infini[ et décroissante sur ]0 B] où B=[ln{2/(5ln(6/5))}]/(ln(6/5)) )

Malgré vos conseil je n'arrive pas à faire le 6

Aidez moi s'il vous plait

Je ne veux pas trop insister mais je n'arrive pas à résoudre f(x)=(6/5)^x-(2+2x/5) sur [0 +l'infini[ en sachant que 9<alpha<10 et que f est croissante sur [B +l'infini[ et décroissante sur ]0 B] où B=[ln{2/(5ln(6/5))}]/(ln(6/5))
Et je ne sais pas comment démontrer ma réponse pour le 6

salut
alors deja f est definie sur ]0,+oo[

elle y est meme continue et derivable sur ]0,+oo[ car elle est la composee de fonctions usuelles.
puis calcul de f'.
f'(x)=ln(6/5)*e^[x*ln(6/5)]-2/5

etude du signe de f'(x).
f'(x)>0 <=>ln(6/5)*(6/5)^x-2/5>=0 x dans I.
on a x dans I et ln(6/5)*(6/5)^x-2/5>=0
donc (6/5)^x>2/[5*ln(6/5)]
la fonction ln est croissante sur R+*.
donc x*ln(6/5)>ln{2/[5*ln(6/5)]}
donc x>ln{2/[5*ln(6/5)]}/ln(6/5)
appelons B le nombre ln{2/[5*ln(6/5)]}/ln(6/5).

on vient de voir que f'(x)>0 <=> x>B
ce qui nous amene a dire aussi que f'(x)<0 <=> x>B.
par un meme raisonnement pour f(x)>0 on arrive a f'(x)=0 <=> x=B.

conclusion f est strictement decroissante sur ]0,B[
puis f est strictement croissante sur ]B,+oo[.

on passe aux limites.
I=]0,+oo[.
donc 2 a etudier. une en 0( 0+ meme) et une en +oo.
la premiere
lim f(x)=lim e^[x*ln(6/5)]-(2+2x/5)=-1.
x->0+    x->0+
POURQUOI ?
lim e^[x*ln(6/5]=e^[0*ln(6/5]=1
x->0+ (autrement dit car x->e^[x*ln(6/5)] est continue en 0)
et lim (2+2x/5)=(2+2*0/5)=2
x->0+ (de meme car x->2+2x/5 est continue en 0)

la deuxime : on a une indeterminee.
mais ici "l'exponentielle l'emporte".
remarque il suffit de factoriser f(x) par x.
f(x)=x*[e^(x*ln(6/5))/x-2/x-2/5]

normalement tu a du voir dans ton cours que
lim e^(a*x)/x=+oo
x->+oo pour a>0.

B=ln{2/[5*ln(6/5)]}/ln(6/5)
f(B)=(2/[5*ln(6/5)])-2-2*ln{2/[5*ln(6/5)]}/[5*ln(6/5)]

f(B)=-1,529 a 10^-3 pres par defaut.
tout ce qui compte ici c'est que f(B)<0.

on a tous les elements pour faire le tableau de variations.

le voici :

on resoud maintenant f(x)=0 sur I.

1 er cas : f est strictement croissante sur ]0,B].elle definit une bijection de ]0,B] sur [f(B),-1[.
or 0 n'appartient pas a [f(B),-1[ donc l'equation f(x)=0 n'admet pas de solution sur ]0,B].

2eme cas : f est strictement decroissante sur [B,+oo[.
elle y definit une bijection de [B,+oo[ sur [f(B),+oo[.
0 appartient a cet intervalle [f(B),+oo[ donc il existe un unique alpha dans [B,+oo[ tel que alpha soit solution de f(x)=0.

par tatonnement on arrive au fait que 10>alpha>9.

resolvons maintenant f(x)>=0. sur I.
le tableau de variation nous permet de dire que f(x)>=0 <=> x>=alpha

car 1)pour x dans ]0,B] f(x) est dans [f(B),-1[ qui est inclus dans R-*. donc pour x dans ]0,B] f(x)<0
2)pour x dans ]B,alpha[ f(x) est dans ]f(B),0[.
donc dans ]B,alpha[ f(x)<0.
3)et pour x dans [alpha,+inf[, f(x) est dans [0,+oo[ donc pour x dans [alpha,inf[, f(x)>=0.

de ces 3 remarques on en deduit f(x)>=0 <=> x>=alpha.

on arrive a la question 6.

d'apres 4) P>=1/2 <=> 2+2n/5=<(6/5)^n
<=> (6/5)^n-(2+2n/5)>=0 <=> n dans N* ET f(n)>=0.

N* est inclus dans I=]0,+oo[.

donc les solutions de f(n)>=0 n dans N* sont solutions de l'equation f(x)>=0, x dans I.

d'apres 5c f(x)>=0 <=> x>=alpha>9.

les solutions de f(n)>=0,n dans N* sont donc les entiers n>9, ce qui revient au meme de dire n>=10.

conclusion P>=1/2 <=> n>=10.

reponse a la question 6 : c'est a partir du dixieme lancer que la probabilite P est superieure à 1/2.

a+