Bonjour,


l'exercice est rude pour le lycee mais on peut le resoudre sans trop de dificultes.
1.On suppose que le candidat repond a chaque question (pas de reponses vierges).
Dans ce cas, il a le choix entre 3 propositions pour la premiere question,
puis 3 puis 3 puis 3, cela fait donc

3*3*3*3=81 possibilites de repondre a son questionnaire.

2. a.
On doit calculer la proba d'avoir trois reponses justes. Cette proba est egale au nombre de questionnaires a 3 points divise par le nombre total de combinaisons possible (on vient de le calculer c'est 81).
Il s'agit donc de calculer le nb de questionaire a trois points exactement. Ce sont des questionnaires ou
le candidat se trompe une et une seule fois. Si il se trompe sur la premiere question, c'est qu'il a coche
parmi l'une des deux mauvaises reponses. Il y a donc 2 questionnaires a trois points avec la premiere question fausse. Idem avec la seconde, troisieme ou quatrieme question fausse.
Ce qui "ensemble admissible " lycee "ensemble admissible " lycee fait 8 types (2*4) de questionnaires a trois points.
Pour etre plus precis, on doit dire que aucun de ces questionnaires n'est en commun (logique, sinon, on aurait moins de 3 points) et que l'on a regarde toues les possibilites envisageables.

La solution est donc:

P(X=3)=8/81


b. Pour etre recu le candidat doit avoir trois ou quatre bonnes reponses. La proba d'avoir quatre bonnes reponses est P(X=4)=1/81. C'est logique car il y a un et un seul type de qcm juste sur les 81 possibles.

La probabilite d'etre recu est la proba que X soit plus grand que 3:

P(X>=3)=P(X=3) +P(X=4)=9/81=1/9

La suite tres vite.

désolé mais je ne compren pas la question 2/ a-

2.c
Donner au plus une bonne reponse, c'est  donner 0 ou 1 reponse juste. Il faut donc calculer
P(X=0) et P(X=1).
La proba d'avoir tout faux P(X=0) est toujours egal au nb de questionnaires a 0 points divises par le nombre
total de qcm (81). Pour a voir 0 points, on a le choix entre 2 reponses fausses ds chq question.
Donc le nb de qcm a ) pts est 2*2*2*2=16. Par suite

P(X=0)= 16/81

Avoir une question seulement de juste , c'est soit par ce qu'on a reussi la premiere question. Dans ce cas,
on a le choix entre deux reponses fausses dans la deuxieme, troisieme et quatrieme question; ce qui fait 8
questionnaires a un point avec la premiere question juste. Idem si l'une des autres questions est juste.
finalement, on 32 questionnaires a 1 point donc

P(X=1)=32/81

La reponse attendue est donc:
P(Maximum une reponse)=(16+32)/81 soit 16/27

Remarque: Ceci est une approche assez brutale puisqu'on regarde toutes les eventualites. Lorsque tu feras
de la combinatoire, ces calculs de denombrements se feront tres vite a partir de lois (loi de bernoulli,loi binomiale).

d. Le gros de la question est faite. La loi de X, c'est la probabilite pour chaque evenement possible.
On voit clairement que X peut prendre les valeurs 0,1,2,3,4. Les proba associees sont calculees en grande partie:

P(X=0)=16/81
P(X=1)=32/81
P(X=3)=8/81
P(X=4)=1/81

Il manque la proba que x soit egal a 2. On pourrait le calculer au cas par cas comme precedemment mais
il y a plus simple. La somme des proba vaut 1 par definition. Donc la proba que l'on recherche est complementaire a celles deja calculees:
P(X=2)=1-16/81-32/81-8/81-1/81= 24/81=8/27.

L'esperance de X E[X], c'est la moyenne des bonnes reponses,en somme le nb moyen de reponses exactes lorsque l'on  fait ce qcm au hasard. Il suffit d'appliquer une formule assez simple et comprehensive intuitivement:

E[X]=P(X=0)*0 +P(X=1)*1 +P(X=2)*2+ P(X=3)*3 +P(X=4)*4

Cette formule s'etend bien sur si X peut prendre des valeurs plus grande que 4.

Ainsi, on montre que
E[X]= 108/81=4/3
(Ca veut dire que en moyenne, on repond a 1,33 reponse juste.)

L'ecart  type s(x) traduit le fait que les reponses sont dispersees ou au contraire tres resserrees autour
de la moyenne 4/3. Ca se calcule a partir de la formule suivante:

s(x)^2 = E[X^2]- E[X]^2.

On doit calculer la loi de X^2 et son esperance.

Les calculs aboutissent a:
E[X]^2=16/9
E[X^2]=216/81=8/3
D'ou s(X)^2=8/9 si mes calculs sont justes.

Je n'insiste pas trop sur ces derniers calculs car tu auras bientot des cours plus exhaustifs.
A bientot.

Aparxa

Un exemple simple. Un de a six face, et on note Y la variable aleatoire associe a un lance de de.
Le nombre de lance possible est 6.
Supposons que l'on veuille calculer la proba d'avoir un 4: P(Y=4). Intuitivement, on comprend bien qu'il y a 6 lancers mais qu'un seul donnera 4. Donc cette proba vaut 1/6. Cela correpond effectivement au nombre de lance possible  (1) divise par le nombre total de lance possible (6)

Tous les raisonnements de combinatoires  qui suivent gardent ce meme prinicipe. On regarde parmi toutes les possibiblites (en l'occurrence les reponses a trois points ou lancer un 4) celles qui correpondent a l'evenement voulu (en l'occurrence tous les qcm possibles ou tous les lancers possibles); la proba recherchee est alors le rapport de ces deux quantites.

A bientot.

Aparxa.