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problème avec un exercice sur une étude de fonctions trigonométr
Bonjour,
Je suis en classe de 1°S et dans le chapitre angles et trigonométrie.J'ai un petit soucis avec un exercice.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait
Voici l'énoncé:
Dans un plan muni d'un repère orthogonal (O,
,
),on considère le cercle trigonométrique U de centre O.
Soit x un nombre réel tel que x compris entre 0 et 
/2.
1.Soit M le point de U tel que x est une mesure de
(vecteur OI,vecteur OM). On designe par T le point d'intersection de la droite (OM) et de la tangente en I au cercle U
a. comparer les aires des triangles OIM,OIT et du secteur circulaire IOM
Je ne sais pas si je dois faire un calcul ou si c'est à l'oeil nu que je dois comparer les aires.
b.En déduire :cosx
sinx/x1
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
Je dirais que le triangle OIM est inclus dans le triangle OMT car M est situé sur le segment [OT]. Donc, l'aire de OIM est inférieure à celle de OIT.
Pour ce qui concerne la question b), je dirais qu'il suffit de comparer les aires du triangle OIM, du secteur angulaire OIM, du triangle OIT ...
merci beaucoup
je voudrais juste savoir comment je peux expliquer que l'aire du secteur circulaire IOM est plus grande que celle du triangle OIM
Je n'ai pas très bien compris comment répondre a la question b)
Merci d'avance
Tout simplement parce que IM est une corde du cercle (sécante en 2 points du cercle U) et que, par conséquent, elle est située à l'intérieur du disque U.
On peut alors dire, à mon avis, que l'aire du secteur circulaire OIM est supérieure à celle du triangle OIM...
D'accord merci
Je voudrais juste encore savoir comment je peux montrer que l'aire du secteur circulaire est inférieure à celle du triangle OIT.
Est ce suffisant et correct si je dis que le secteur circulaire IOM est contenu dans le triangle OIT et donc que l'aire du secteur circulaire est inférieure à celle du triangle OIT.
Merci d'avance
Oui, c'est suffisant : (IT) est tangente au cercle, donc extérieure a&u cercle. Donc le secteur circulaire OIM est à l'intérieur du triangle OIT. Sans aucun doute.
merci beaucoup
Mais j'ai encore un petit soucis je n'ai pas très bien compris comment en déduire que cosxsinx/x1
Pourriez vous me venir en aide encore une fois s'il vous plait.
Merci d'avance
On part de l'inégalité Aire(Triangle(OIM))<Aire(Secteur(OIM))<Aire(Triangle(OIT)
Ce qui donne :
.
Si on multiplie tout par 2/(sin x), on obtient :
Ensuite on prend l'inverse de chacun des 3 membres et, comme la fonction inverse est décroissante, les inégalités changent de sens :
.
En admettant le cas limite où M=I, on obtient des inégalités larges ...
Merci mais comment passez-vous de:
Aire(Triangle(OIM))<Aire(Secteur(OIM))<Aire(Triangle(OIT)à sinx/2 inférieur à x/2 inférieur à sinx/2cosx ?
Je ne comprends pas bien d'ou viennent les sinx/2, x/2 et sinx/2cosx
Merci d'avance
Voila :
Aire du triangle OIM = (base
hauteur)/2
donc Aire du triangle OIM = (OIOA)/2
donc Aire du triangle OIM = (OIsin x)/2
Donc Aire du triangle OIM = (sin x)/2 car OI = 1
Aire du secteur OIM = x/(2)aire(disque)
Aire du secteur OIM = x/(2)(OI2)
Aire du secteur OIM = x/(2)() car OI=1
Aire du secteur OMI = x/2
Aire du triangle OIT = (OIIT)/2
Aire du triangle OIT = (OItan x)/2 car IT = tan x
Aire du triangle OIT = (tan x)/2 car OI=1
Aire du triangle OIT = (sin x)/(2cos x) car tanx = (sin x)/(cos x)
J'espère que tu comprends ...
j'ai compris merci.
Juste..je dois en déduire cosx sinx/x1 et là on a simplement inférieur.
Je peux changer tout simplement les signes ou non ???
J'aurais encore une petite question à vous poser:
Soit x1 un nombre réel compris entre -pi/2 et 0
En posant x1=-x et en utilisant le résultat de la question précédente je dois démontrer que cosx1sinx1/x11
Alors j'ai trouvé que:
* l'aire de OIM= sin-x/2 soit -sinx/2
* l'aire de OIT=-sinx/2cosx
* l'aire du secteur = -x/2
Ensuite ou lieu de multiplier par 2/sinx j'ai fait par -2/sinx j'ai donc trouvé comme précedemment...
Est ce correct ???
Par contre je dois conjecturer que quand x tend vers 0 sinx/x=1 et ça je n'ai pas réussi...
Pourriez vous m'aider ??
Merci
Les inégalités que je t'ai données sont valables pour x>0. Pour le cas limite où x=0, alors les 3 aires sont égales à 0. Donc, dans ce cas, les inégalités strictes se transforment en inégalités larges et restent valables.
Pour x compris entre -/2 et 0, ton raisonnement est tout à fait correct.
Enfin, pour ta dernière question, il faut utiliser le "théorème des gendarmes" selon lequel :
si f(x) g(x) h(x)
et si
alors
Il suffit d'appliquer ce théorème avec a=0; f(x)=cos x; g(x) = (sin x)/x ; h(x)=1
D'accord donc ça me donne:
si cosx (sinx)/x1
et si lim cosx = lim 1 = 1
x
0
alors lim (sinx)/x=1
x0
Je n'ai pas besoin de donner plus d'explications que ça ??
Une toute dernière question en admettant le résultat précédent je dois démontrer que le nombre dérivé en 0 de la fonction sinus est 1.
Je n'ai pas réussi pourriez vous m'expliquer comment faire s'il vous plait???
Merci
Oui, cette explication suffit.
Pour la "dernière question", par définition, le nombre dérivé de sinus en 0 est :
.
Donc ...
Bonne année
et bonne année 2007 !
Bah voyons !
Regarde ce qu'a écris patrice !
Il faut calculer
Que vaut sin(0) ?
Ensuite, c'est une limite que tu as déjà calculé...
Oui, c'est ça. De ce fait, le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 est bien égal à 1.
Bonne fin de vacances.
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