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Problème compréhension démonstration dérivation

Posté par
tonius
27-02-18 à 17:28

Bonjour,

Introduction: Je suis déscolarisé, j'ai toujours été mauvais en maths (2/20 au bac). Mais je suis passionné de sciences. Et je me rends bien compte que les maths sont la matière qui permettent de créer des formules physiques, biologique... J'arrive sans problème à manipuler les équations physiques mais derrière ces formules se trouvent le raisonnement mathématique abstrait. Je recommence donc les maths depuis le début enfin à ma façon et plutôt que d'appliquer bêtement les exercices de lycée. J'essaie vraiment de comprendre les démonstrations de chaque formules.

Problème: La fonction f(x)=x2 à pour dérivée f'(x)=2x.

J'ai trouvé la démonstration en détail mais je ne comprends pas, bien que je me repère à la courbe de cette fonction sur un graphique.

La démonstration est la suivante:
[voir image attachée]




Question: Je ne comprends pas d'où sort ce "h" dans la formule et pourquoi on met des fonctions sous forme factorisées par la suite ...? Si quelqu'un pouvait m'éclairer. Je suis peut être proche du déclic en maths, rien qu'avec cela.

Merci.

Problème compréhension démonstration dérivation

Posté par
carpediem
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 17:46

salut

par définition le nombre dérivé de f en x est la limite du taux de variation de f entre les points de coordonnées M(x, f(x)) et N(n, f(n)) lorsque N tend vers M

on peut alors prendre (n, f(n)) = (x + h, f(x + h)) avec h réel quelconque ... qu'on va faire tendre vers 0 ... puisque N tend vers M ...

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 21:56

Salut carpediem,

Merci de ta réponse mais je suis incapable de comprendre pourtant je ne doute pas de la clarté de ce que vous me marquez.

J'ai essayé de reprendre en détail, je pense à voir compris qu'une dérivée donne la croissance et les variations d'une fonction.

Pour la fonction affine f(x) = ax+b

je comprends que la dérivée soit f'(x)= a ; car il s'agit de la pente

Mais pour les autres notamment f(x) = x2 je ne comprends pas comment la courbe peut croitre de f'(x) = 2x puisque quand je regarde la courbe sur le graphique je ne comprends pas.

Je suis désolé mon niveau est très bas, je suis sur que je bloque sur un petit truc qui me fera comprendre votre réponse en 10s par la suite.

Posté par
lafol Moderateur
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 22:11

Bonjour
tente l'expérience suivante : place les points d'abscisses a = -2; 2; -1; 1; 0, et d'ordonnée le carré a² de leur abscisse.
autour de chaque point, trace un petit morceau de la droite de pente 2a (mettons sur une demi unité horizontale à gauche et à droite du point)
ne vois-tu pas alors s'esquisser la parabole, en un peu plus anguleux que d'habitude ?
si tu as le temps rajoute les points à abscisses demi entières, et ajoute les segments de droites correspondant
si tu avais beaucoup de temps et pouvais placer une infinité de points et une infinités de petits bouts de droites, tu reconstituerais la parabole, appuyée sur un matelas de petits bouts de droites

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 22:38

Bonjour,

Merci j'ai refait ce que vous m'avez dit. J'ai eu un déclic je n'avais pas compris que pour calculer une pente on doit obligatoirement tracer une tangente et qu'on ne peut pas la prendre sur une courbure.

Mais je ne retrouve tout de même pas le f'(x) = 2x

Exemple dans le cas de f(x) = x2 :
      Mb(xb;yb)
      Ma(xa;ya)

      Mb(x8;y64)
      Ma(x7;y49)

a = (yb - ya) / (xb - xa)
   = (64-49) / (8-7)
   = 15 / 1
   = 15

Donc le coefficient directeur de la pente est de 15 et non de 2x. Je ne comprends pas.

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 22:53

J'ai compris youpii !

Merci Géogébra super logiciel. La tangente ne passe que par 1 point et pas 2 de la courbe. J'ai expérimenté avec géogébra j'ai compris. Du coup après il fallait bien appliqué comme j'ai fait c'est juste que je n'ai pas bien tracé ma tangente.

Maintenant il faut que je comprenne la démarche mathématique pour y arriver (ce que j'ai mis dans le sujet et que carpediem m'a répondu).

Déjà c'est plus clair merci.

Posté par
NeK
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 22:58

tonius @ 27-02-2018 à 22:38



Mais je ne retrouve tout de même pas le f'(x) = 2x

Exemple dans le cas de f(x) = x2 :
      Mb(xb;yb)
      Ma(xa;ya)

      Mb(x8;y64)
      Ma(x7;y49)

a = (yb - ya) / (xb - xa)
   = (64-49) / (8-7)
   = 15 / 1
   = 15

Donc le coefficient directeur de la pente est de 15 et non de 2x. Je ne comprends pas.


Regarde, au point 7 que tu as choisi, tu trouves 15.
Si tu utilises 2x (comme la dérivée te l'indique), tu trouves 2*7=14.
Ce n'est pas si loin.

Et c'est différent uniquement car comme tu l'as dit, il y a une courbure entre 7 et 8, et non pas une droite. C'est pour ça qu'on ne peut pas calculer directement la "pente" entre ces deux points. Tu seras plus précis si tu prends entre 7 et 7.1, encore plus précis si tu prends entre 7 et 7.001 etc etc.


Ta réflexion est une bonne chose pour comprendre la dérivée (en s'appuyant sur la formule donnée par carpediem là-haut) :

La dérivée correspond à la "pente" en un point précis. Pour cela on calcule la limite de la pente entre deux points successifs (x et x+h) en faisant tendre h vers 0.
Ce qui signifie que l'on prend pour valeur de la dérivée "la pente de deux points infiniment proches"

Posté par
NeK
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 23:00

la pente entre* deux points infiniment proches.

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 23:13

Oh merci beaucoup je commence à comprendre un peu,

On prend la pente entre deux points infiniment proches sur la courbe. Donc quand on dit en faisant tendre h vers 0 cela signifie que h est la distance entre ces 2 points de la courbe et qu'il faut prendre ces 2 valeurs les plus rapprochées de 0 ?

Mais comment calcule t'on la limite de la pente entre ces 2 points ?

Je suis bloqué à votre dernière phrase. je l'a comprend en partie. Mais je ne suis pas certain.

Posté par
NeK
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 23:31

tonius @ 27-02-2018 à 23:13


On prend la pente entre deux points infiniment proches sur la courbe. Donc quand on dit en faisant tendre h vers 0 cela signifie que h est la distance entre ces 2 points de la courbe et qu'il faut prendre ces 2 valeurs les plus rapprochées de 0 .


C'est exactement ça, la formule qu'a donné carpediem :
\lim (\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x}) lorsque h tend vers 0,

revient à donner la pente entre 2 points infiniment proches (éloignés d'une distance h, infiniment petite). Ainsi la pente ressemble bien à \frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x} et c'est d'autant plus vrai que l'on diminue la distance entre x et (x+h).

tonius @ 27-02-2018 à 23:13


Mais comment calcule t'on la limite de la pente entre ces 2 points ?


Tu pourras trouver la démonstration pour chaque fonction que tu veux dériver si tu en as besoin, ce serait un peu long pour moi de faire la démonstration ici, mais une fois que tu admets ce conseil, il y a des "règles" simples à appliquer pour dériver les fonctions.

Posté par
NeK
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 23:37

tonius @ 27-02-2018 à 23:13

Donc quand on dit en faisant tendre h vers 0 cela signifie que h est la distance entre ces 2 points de la courbe et qu'il faut prendre ces 2 valeurs les plus rapprochées de 0 ?


EDIT :  non pardon j'avais mal lu, il n'y a pas besoin que ces 2 valeurs soit les plus rapprochées de 0. La seule chose qui importe, c'est que l'écart entre ces 2 points soit le plus proche de 0 possible.

C'est ce que je te disais pour calculer la dérivée au point x=7 :
Si tu calcules la pente entre 7 et 8 (h=1), puis entre 7 et 7,1 (h=0,1), puis entre 7 et 7,001 (h=0,001), puis entre 7 et 7,00000000001 (h=0,00000000001) etc etc... Et bien plus tu rapproches h de 0, plus cette pente va se rapprocher de 2*7 = 14.
C'est pour ça qu'on dit que 14 (ou 2x dans le cas général) est la limite de cette "pente" (on parle de taux d'accroissement) lorsque h tend vers 0.

Et ce qui est "magique", c'est que c'est valable en tout point, pas seulement en 7.
Peu importe en quel x tu te places, la pente de la tangente à la courbe f(x)=x² sera égale à 2x.

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 23:42

D'accord merci beaucoup de vos explications.

De toute façon maintenant à chaque notion je chercherai à comprendre les démonstrations.

Il faut juste que je m'habitue aux formules mathématiques que je trouve barbares. Il faut que je prenne le temps de les décortiquer. Je comprends tout ce que tu m'as écris en langage français mais j'ai du mal à comprendre la formule en langage mathématiques. Mais je vais prendre le temps de la regarder en détail ça devrait le faire. De toute façon j'ai envie de réussir donc je me donnerai les moyens.

Merci encore.

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 23:44

Pour répondre à ta rectification

NeK @ 27-02-2018 à 23:37


EDIT :  non pardon j'avais mal lu, il n'y a pas besoin que ces 2 valeurs soit les plus rapprochées de 0. La seule chose qui importe, c'est que l'écart entre ces 2 points soit le plus proche de 0 possible.

C'est ce que je te disais pour calculer la dérivée au point x=7 :
Si tu calcules la pente entre 7 et 8 (h=1), puis entre 7 et 7,1 (h=0,1), puis entre 7 et 7,001 (h=0,001), puis entre 7 et 7,00000000001 (h=0,00000000001) etc etc... Et bien plus tu rapproches h de 0, plus cette pente va se rapprocher de 2*7 = 14.
C'est pour ça qu'on dit que 14 (ou 2x dans le cas général) est la limite de cette "pente" (on parle de taux d'accroissement) lorsque h tend vers 0.

Et ce qui est "magique", c'est que c'est valable en tout point, pas seulement en 7.
Peu importe en quel x tu te places, la pente de la tangente à la courbe f(x)=x² sera égale à 2x.
.

J'ai mal formulé mais c'est bien cela que j'avais compris que l'écart entre ces 2 points soit le plus proche de 0 possible. Désolé j'ai mal choisi mes mots.

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 27-02-18 à 23:59

Une dernière chose que je viens de me rendre compte.

En fait je croyais que pour faire une démonstration il partait de leur formule \lim_{h\to 0}(\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x}) pour arriver à f'(x) = 2x.

Mais en fait non, si je comprends bien les premiers qui ont découvert cela on juste expérimenté, vu des régularités et par la suite construit leur formule de limite à partir de ces régularités qui tombaient sur 2x.

C'est bien ça ? Du coup je raisonnais à l'envers au début si ça se trouve.

Posté par
NeK
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 00:23

tonius @ 27-02-2018 à 23:59

Une dernière chose que je viens de me rendre compte.

En fait je croyais que pour faire une démonstration il partait de leur formule \lim_{h\to 0}(\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x}) pour arriver à f'(x) = 2x.

Mais en fait non, si je comprends bien les premiers qui ont découvert cela on juste expérimenté, vu des régularités et par la suite construit leur formule de limite à partir de ces régularités qui tombaient sur 2x.

C'est bien ça ? Du coup je raisonnais à l'envers au début si ça se trouve.


Non non, les calculs partent toujours de la formule de la limite. C'est nous maintenant qui pouvons utiliser le "catalogue" des dérivées pour gagner du temps mais la base de tout est bien la limite du taux d'accroissement.

Voici la démonstration pour x², car je pense que tu en as besoin pour visualiser le truc

\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h) - x} = \frac{(x+h)² - x²}{h} = \frac{x² + 2xh + h² - x²}{h} = \frac{2xh + h²}{h}

Comment h0, on peut simplifier par h et donc obtenir :

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= 2x + h

Et la limite de 2x+h lorsque h tend vers 0, est bien égale à 2x


Bon courage pour la suite et un sincère bravo pour ta démarche

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 10:49

Merci c'est gentil,

Juste 2 petits points encore obscurs :

1- Je comprends le développement de la formule pour arriver au 2x + h mais je ne comprends pas pourquoi on utilise (\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x}) au début. En gros je sais remplacer la fonction et la développer mais pourquoi utilise t'on cela ? C'est là qu'est mon problème je pense vraiment que les premiers à avoir découvert cela on trouvé 2x + h et quand h tend vers 0 on a 2x et par la suite avec ça ils ont factorisé pour retrouver  (\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x}).

2- Une autre chose que je ne comprends pas en mathématiques. En physique en général on met sous les formules la correspondance des termes. Pourquoi pas en mathématiques.

Par exemple le h carpediem l'a bien expliqué je cite "avec h réel quelconque ... qu'on va faire tendre vers 0" mais pour un néophyte comme moi pourquoi ne pas faire comme en physique et marqué en plus en dessous :

h : Distance sur la courbe séparant deux valeurs de x dont la pente a été calculée pour chacun d'entre eux.

Ça serait plus clair non ?

Posté par
NeK
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 11:54

tonius @ 28-02-2018 à 10:49

Merci c'est gentil,

Juste 2 petits points encore obscurs :

1- Je comprends le développement de la formule pour arriver au 2x + h mais je ne comprends pas pourquoi on utilise (\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x}) au début. En gros je sais remplacer la fonction et la développer mais pourquoi utilise t'on cela ? C'est là qu'est mon problème je pense vraiment que les premiers à avoir découvert cela on trouvé 2x + h et quand h tend vers 0 on a 2x et par la suite avec ça ils ont factorisé pour retrouver  (\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x}).


On utilise ça car c'est la définition de la dérivée c'est bien de là que sont partis ceux qui ont étudié la dérivée de x² ainsi que les autres..

On utilise cette formule (\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x}) tout simplement car c'est la définition d'une pente, tu l'as fait toi-même dans ton message de 22h38 :

a = (yb - ya) / (xb - xa)

yb c'est f(b) et ya c'est f(a).

Et si tu veux étudier la pente entre x et (x+h), tu dois bien faire

[y(x+h)-y(x) ] / (x+h - x)   tu vois la relation   ?

Du coup, plus h est petit, plus la pente de la tangente correspond précisément à la réalité, c'est pour cela qu'on étudie la limite lorsque h tend vers 0.

tonius @ 28-02-2018 à 10:49


2- Une autre chose que je ne comprends pas en mathématiques. En physique en général on met sous les formules la correspondance des termes. Pourquoi pas en mathématiques.

Par exemple le h carpediem l'a bien expliqué je cite "avec h réel quelconque ... qu'on va faire tendre vers 0" mais pour un néophyte comme moi pourquoi ne pas faire comme en physique et marqué en plus en dessous :

h : Distance sur la courbe séparant deux valeurs de x dont la pente a été calculée pour chacun d'entre eux.

Ça serait plus clair non ?


oui ça serait plus clair, mais ça vient du fait qu'on commence à apprendre ce que représentent les termes avant d'apprendre la formule.. Du coup quand la formule arrive, on est "censé" savoir de quoi on parle.. Ce qui n'est pas ton cas forcément quand tu arrives directement sur la formule..
C'est vrai que c'est à chacun d'aller chercher ce que représentent les termes... :/

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 14:04

Merci,

Je vois la relation maintenant tout est beaucoup plus clair je comprends ce que m'a écrit carpediem. Mais je bloque quand même parce que dans le cas d'une fonction affine, la pente est donné par :

a = \frac{Yb - Ya}{Xb - Xa}

Mais pourquoi dans ce cas là le numérateur (l'ordonnée Y) est remplacée par la fonction x2 et le dénominateur reste x et pas une fonction comme au numérateur ?

Pourquoi ça :

a = (\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h)-x})

et pas :

a = (\frac{(x+h) - x}{(x+h)-x})

ou :

a = (\frac{f(x+h) - f(x)}{f(x+h)-f(x)})

PS: Je sais ce que j'ai mis n'a pas de sens puisque ça fait 1 dans les deux cas.
       En fait j'ai un problème avec ordonnée et abscisse. Si ca se trouve dans une fonction le f(x) = ordonnée et x = abscisse ?

Posté par
NeK
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 14:12

tonius @ 28-02-2018 à 14:04

Merci,

Je vois la relation maintenant tout est beaucoup plus clair je comprends ce que m'a écrit carpediem. Mais je bloque quand même parce que dans le cas d'une fonction affine, la pente est donné par :

a = \frac{Yb - Ya}{Xb - Xa}

Mais pourquoi dans ce cas là le numérateur (l'ordonnée Y) est remplacée par la fonction x2 et le dénominateur reste x et pas une fonction comme au numérateur ?


La fonction x², tu es d'accord qu'on peut soit l'écrire : y=x² , soit l'écrire f(x) = x² ?

Ce qu'on appelle communément les "Y" sur un graphe, ce sont les images de X par rapport à la fonction, soit les f(X). C'est la même chose

C'est pour ça que si tu veux faire yb-ya, tu peux le remplacer par f(b) - f(a).
Et f(b) pour la fonction x², c'est f(b)=b²

De la même façon, f(x+h) = (x+h)².... Tu vois la  suite

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 14:18

Ça y est j'ai tout compris de A à Z enfin !

Je manquais vraiment de technique. Je n'avais pas compris que les ordonnées étaient les images de x par rapport à la fonction.

Maintenant c'est bon les autres dérivées devraient être simple.

Merci

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 19:06

Du coup les autres semblent facile maintenant mais j'ai des petits problèmes de calculs (je cherche sur le net). Mais la je ne comprends pas d'où sort ce -h (voir encadré rouge sur l'image) :

Je dois avoir un problème avec la division de fraction sur fractions dont la règle que j'ai trouvé sur le net est :

(a/b) / (c/d) = (a/b) * (d/c) = ad / bc

** image supprimée **

Posté par
Krayz
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 19:20

Bonsoir,

\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h} = \frac{x-(x+h)}{x(x+h)} \times \frac{1}{h} = \frac{x-x-h}{x(x+h)} \times \frac{1}{h} = \frac{-h}{x(x+h)h}

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 19:29

Ah super merci,

ce qui me perturbait était le x - (x+h)
je suis plus à l'aise à lire comme cela - x (x+h)

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 19:31

[EDIT] non désolé j'ai marqué n'importe quoi,

Le développement de x - (x+h) me perturbe

Posté par
Krayz
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 19:34

Il y a beaucoup d'erreurs sur ce genre de développement.

Rappels :

Citation :
+(a+b-c) = a + b - c


Citation :
-(a+b-c) = -a-b+c

Posté par
tonius
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 19:38

D'accord j'ai compris merci beaucoup

Posté par
Krayz
re : Problème compréhension démonstration dérivation 28-02-18 à 19:41

Bonne soirée



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