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Problème d application à la dérivation
Voilà je bloque sur cet exercice depuis un certain temps et il me faut le finir pour la semaine prochaine.Je ne demande pas systématiquement une solution complète mais une aide la plus détaillée possible.
Voilà l'exercice:
On veut installer une rampe métallique en pente douce permettant à
des chariots de franchir une marche.La hauteur OH de la marche est 50 cm et la distance OB perpendiculaire à OH est égale à 1 m.La rampe doit satisfaire les conditions suivantes:
-(C1) est tangente au sol en B
-(C2) est tangente au sommet de la marche en H.
Dans un repère orthonormal(d'unité graphique 10 cm), les points B et H ont respectivement pour coordonnées (1;0) et (0;0.5)
QUESTIONS:
A/
1)a.Pourquoi une parabole ne convient-elle pas?
b.On va chercher, si elle existe, une courbe formée de deux arcs de parabole P1 et P2 qui se raccordent en I (0.5;0.25).C'est à dire deux arcs qui se coupent en I et admettent en ce point une tangente commune.
Trouver une équation de P1 et une équation de P2?
2)On décide alors de choisir la fonction h définie sur [0;1] par:
h(x)= -x(au carré)+0.5 si x appartient à [0;0.5]
h(x)=(x-1) le tout au carré si x appartient à ]0.5,1]
a.On note C la courbe reprèsentative de h.La courbe C satisfait-elle à C1 et C2?
b.Tracez C dans le repère
c.Vérifiez que pour tout x de [0;1] |h'(x)| 
1
B/
On cherche à améliorer le profil de la rampe en choisissant cette fois la courbe représentative de T d'une fonction g définie sur [0;1] par g(x)=ax(au cube)+bx(au carré)+cx+d.
1)Déterminez a, b, c et d pour que la courbe T vérifie les conditions C1 et C2.
2)a.Etudiez les variations de la fonction g
b.Démontrer que pour tout x de [0;1], |g'(x)| 0,75.
AIDE:chercher le maximum de g' sur [0;1].
3)Construisez T dans le même repère que C.Que remarquez vous?
Merci d'avance à celles et ceux qui répondront
A/
a.
-(C1) est tangente au sol en B
-(C2) est tangente au sommet de la marche en H.
Ces 2 conditions imposent un changement du sens de la courbure de la
rampe, autrement dit un point d'inflexion dans la courbe représentant
la rampe.
Une parabole ne contient pas de point d'inflexion et ne peut donc
conpas convenir.
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b)
On met l'origine des axes au pied de la rampe, l'axe des abscisses
sur le sol horizontal, l'axe des ordonnée pour avoir un repère
orthonormé, (direction positive de l'axe des ordonnées vertical
vers le haut).
P1 doit avoir son sommet à l'origine (pour que la tangente en ce
point soit horizontale).
Elle doit présenter un minimum à l'origine et donc est de la forme:
y = Ax² avec A > 0
Elle doit aussi passer par le point (0,5 ; 0,25)
-> 0,25 = A.(0,5)²
et donc A = 1
-> P1: y = x²
---
P2 doit avoir son sommet au point (1 ; 0,5)
P2: y = ax² + bx + c
f(x) = ax² + bx + c
f(1) = 0,5 ->
a + b + c = 0,5 (1)
f '(x) = 2ax + b
f '(1) = 0 ->
2a + b = 0 (2)
P2: passe par le point (0,5 ; 0,25) ->
f(0,5) = 0,25
0,25a + 0,5b + c = 0,25 (3)
On a le système donné par (1), (2) et (3)
a + b + c = 0,5
2a + b = 0
0,25a + 0,5b + c = 0,25
qui résolu donne:
a = -1; b = 2 et c = -0,5
P2: y = -x² + 2x - 0,5
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2)
Arrivé à ce stade, je renifle que l'auteur de la question a pris l'origine
de son repère ailleurs que moi au début.
Il a pris l'origine des axes contre le "mur" en bas, soit à mon
point de coordonnées (1;0) et pris un miroir pour regarder la pente
, bref la totale.
Je recherche alors les équations de P1 et P2 dans ce nouveau repère:
if suffit de faire x -> -(x - 1) dans les équation des paraboles.
P1 devient: y = (x - 1)² pour x dans ]0,5 ; 1[
P2 devient: y = -(x-1)² - 2(x-1) - 0,5
soit P2: y = -x² + 2x - 1 - 2x + 2 - 0,5
soit P2: y = -x² + 0,5 pour x dans [0 ; 0,5]
On retombe sur les équations du point 2 de l'énoncé.
a) C satisfait évidemment à C1 et à C2
---
b) le tracer est pour toi
---
c)
Pour x dans [0 ; 0,5]
h '(x) = -2x et donc |h'(x)|max = 1 et on a 0<= |h'(x)|
<= 1
Pour x dans ]0,5 ; 1[
h'(x) = 2(x-1) et donc |h'(x)|max = 1 et on a 0<= |h'(x)| <=
1
-> 0<= |h'(x)| <= 1 pour x dans [0 ; 1]
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B)
1)
g(x) = ax³ + bx² + cx + d
g '(x) = 3ax² + 2bx + c
On doit avoir g(0) = 0,5
-> d = 0,5
On doit avoir g(1) = 0
-> a + b + c + d = 0
On doit avoir g'(0) = 0
-> c = 0
On doit avoir g'(1) = 0
-> 3a + 2b + c = 0
On résoud le système:
d = 0,5
c = 0
a + b + c + d = 0
3a + 2b + c = 0
On trouve: a = 1; b = -1,5; c = 0 et d = 0,5
-> T: y = x³ - 1,5x² + 0,5
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2)
g(x) = x³ - 1,5x² + 0,5
g '(x) = 3x² - 3x
g'(x) = 3x(x - 1)
g'(x) = 0 pour x = 0
g'(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ -> g(x) décroissante.
g'(x) = 0 pour g = 1
---
b)
g''(x) = 6x - 3
g''(x) = 6(x - 1/2)
g''(x) < 0 pour x dans [0 1/2[ -> g'(x) décroissante.
g''(x) = 0 pour x = 1/2
g''(x) > 0 pour x dans [0 1/2[ -> g'(x) croissante.
La valeur de x qui rend min g'(x) est celle qui rend max |g'(x)|
-> |g'(x)|max = |(3/2)((1/2) - 1)| = 0,75
Et donc |g'(x)| <= 0,75 pour x dans [0 ; 1]
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3)
Le dessin est pour toi.
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Libre à toi de refaire le début avec le repère qui est utilisé par la suite
pour ne pas devoir faire le changement de repère que j'ai effectué
en cours d'exercice.
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Sauf distraction. 
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