Bonjour,
Alors voilà, j'ai plusieurs exercices à faire et comme j'avais du mal à comprendre j'ai fait quelques recherches sur internet...
j'ai trouvé ce cours de maths :

Cours de mathématiques : La somme des n premiers carrés

Soit la suite des n premiers carrés 1, 4 , 9, 16, 25, ... ... , n2 ou encore sous la forme 12, 22, 32, 42, ... ... , n2.

Pour la suite nous noterons :
Sn la somme des n premiers entiers, Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.
Sn2 la somme des n premiers carrés, Sn2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... ... + n2
Sn3 la somme des n premiers cubes, Sn3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... ... + n3.

Calculons une formule pour la somme des n premiers carrés.

Il faut utiliser le développement du terme ( n + 1 )3 qui donne,

(n + 1)3 = (n + 1) (n + 1)2 = (n + 1) (n2 + 2n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1.

En appliquant cette formule à chaque cube de ( n + 1 ) à 1, on obtient les égalités suivantes :

( n + 1 )3 = n3 + 3n2 + 3n + 1
n3 = ( n - 1 )3 + 3 ( n - 1 )2 + 3( n - 1 ) + 1
( n - 1 )3 = ( n - 2 )3 + 3 ( n - 2 )2 + 3( n - 2 ) + 1
( n - 2 )3 = ( n - 3 )3 + 3 ( n -3 )2 + 3( n - 3 ) + 1

...

...

( 3 )3 = ( 2 )3 + 3 ( 2 )2 + 3( 2 ) + 1
( 2 )3 = ( 1 )3 + 3 ( 1 )2 + 3( 1 ) + 1
( 1 )3 = ( 0 )3 + 3 ( 0 )2 + 3( 0 ) + 1

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Sn+13 = Sn3 + 3Sn2 + 3Sn + n + 1

En effectuant la somme membre à membre on obtient, en utilisant les notations définies plus haut :

Sn+13 = Sn3 + 3Sn2 + 3Sn + n + 1

de là,

Sn+13 - Sn3 = 3Sn2 + 3Sn + n + 1
( n + 1 )3 = 3Sn2 + 3Sn + n + 1
3Sn2 = ( n + 1 )3 - 3Sn - n - 1

Or on connaît la somme des n premiers entiers qui est égale à n( n + 1 ) / 2.

3Sn2 = ( n + 1 )3 - 3[ n( n + 1 ) / 2 ] - n - 1
6Sn2 = 2( n3 + 3n2 + 3n + 1 ) - 3n( n + 1 ) - 2n - 2
6Sn2 = 2 n3 + 6n2 + 6n + 2 - 3n2 - 3n - 2n - 2
6Sn2 = 2 n3 + 3n2 + n
6Sn2 = n( 2 n2 + 3n + 1 )
6Sn2 = n( n + 1 )( 2n + 1 ).

J'ai compris tout le développement mais est ce que qulqu'un peut m'expliquer d'où sort le +n dans l'expression qui est situé juste après la phrase : "En effectuant la somme membre à membre on obtient, en utilisant les notations définies plus haut".

Merci d'avance.