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Probleme de fourmi
Bonjour à tous,
j'ai besoin de votre aide pour un exercice,
Sujet:
Des fourmis se déplacent en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse
constante, en formant une colonne de X cm de long. La dernière fourmi du
groupe décide d'aller ravitailler la fourmi en chef et pour cela rejoint la tête
de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne. Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru X cm, déterminer en fonction de X la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse.
Je sais que c'est un problème très connu avec "50cm" mais avec X je bloque voici mon début,
Soit v la vitesse de la colonne en cm/s
V la vitesse de la foumi ravitailleuse en cm/s
t1 le temps aller en secondes
t2 le temps retour en secondes
d1 la distance que la colonne parcours pendant l'aller
d2 distance que la fourmi parcours pendant l'aller
d'1 d'2 pour la distance parcourus pendant le retour.
Pendant l'aller, la troupe parcourt d1 = v.t1
la fourmi ravitailleuse parcourt d2 = V.t1
et on a d2 = d1 + X
Vt1 = vt1 + X
t1 = X/(V-v)
Pendant le retour, la troupe avance de d'1 = v.t2
le ravitailleuse fait d'2 = V.t2
Et on a d'2 = X - e'1
Vt2 = X - vt2
t2 = X/(V+v)
Bonsoir, le plus simple est de se mettre dans un repère qui avance avec la colonne de fournis.
Dans ce repère, la fourmi ravitailleuse va à V-v quand elle va vers la tête et à V+v quand elle revient. Mais dans les deux cas elle parcourt X.
A l'aller elle mets t1 = X/(V-v) et au retour t2 = X/(V+v)
Pendant t1 + t2 la colonne a parcouru X à la vitesse v donc X = v(t1+t2)
et donc X/v= X/(V-v) + X/(V+v) les X se simplifient et donc 1/v = 1/(V-v)+1/(V+v)
il faut alors poser x= V/v ça donne 1/v = 2V/(V²-v²) donc V²-v² = 2Vv 
x²-1= 2x x²-2x-1 = 0 tu résous cette équation du second degré, ça donne x = 1+
2 (on ne garde que la solution positive)
la fourmi ravitailleuse qui est allé à la vitesse V pendant un temps t1+t2 a parcouru
V(t1+t2) = VX (1/(V-v) + 1/(V+v) = 2V²X/(V²-v²) = 2X/(x²-1) = X/x = X/(1+2)
sauf erreur.
bonsoir Glapion,
Tout d'abord merci de ta réponse complète j'ai juste besoin de quelques explications si ça ne te déranges pas.
"la fourmi ravitailleuse va à V-v quand elle va vers la tête et à V+v quand elle revient."
Comment prouve t'on ces valeurs ?
Après je comprends tes simplifications sauf à partir de
V²-v² = 2Vv à x²-1= 2x
car tu poses x= V/v et tu remplaces 2Vv par 2x ... je ne comprends pas trop.
Merci en tout cas 
j'ai fait une erreur à la fin. il est plus rapide de faire :
on a D = V(t1+t2) et X = v(t1+t2) donc D = VX/v=xX = (1+2) X
sinon oui, quand on en est à 2V²X/(V²-v²) si on divise haut et bas par v² ça donne 2X(V²/v²)/((V²/v²-1) = 2Xx²/(x²-1) mais on avait trouvé x²-1= 2x donc = 2Xx²/2x = xX = (1+2)X mais c'est un calcul inutile, prends le premier, il est plus rapide.
quand la fourmi ravitailleuse va vers la tête, elle va à V mais doit rattraper le convoi qui va à v, dans le repère mobile elle va à V-v, c'est comme si on marchait à coté d'un tapis roulant, dans le repère du tapis roulant on va bien à V-v.
inversement, quand elle revient, elle bénéficie de la vitesse du convoi qui vient vers elle, elle va à V+v.
Bonjour,
merci beaucoup pour vos explications Glapion
J'aurais juste une petite dernière chose a vous demander si vous pouvez.
Comment passer de : V²-v² = 2Vv
à (V/v)²-1=2(V/v)
et donc à x²-1= 2x
Merci 
Malheureusement cette solution donnée est fausse.
La solution où racine carrée de 2 intervient n'est juste que dans le cas particulier où la fourmi de tête parcourt une distance EGALE à la longueur de la colonne de fourmis.
Ci-après la solution générale (en passant par l'étape illustrative où longueur de colonne de fourmis, distance parcourue sont égales à 50 cm, soit le problème original des Olympiades de mathématiques de 1ère en 2002).
A B X C
La distance AB = L, longueur de la colonne de fourmis (que l'on prend par exemple = 50 cm)
La distance BC = D (que l'on prend par exemple = L = 50 cm, dans un premier temps)
La fourmi de tête (et donc l'ensemble de la colonne, hormis la fourmi de queue) se déplace à la vitesse V constante de la gauche vers la droite
La fourmi de queue se déplace à la vitesse V' constante en valeur absolue avec V' > V
Il y a 2 instants particuliers où l'on sait où sont les fourmis de tête et de queue.
1 - La fourmi de queue rattrape la fourmi de tête au point X à droite de B à l'instant T1
On pose x = distance BX en cm qui est une inconnue
La fourmi de tête a parcouru x cm en un temps T1 à la vitesse V donc T1 = x / V
La fourmi de queue a parcouru L+x cm en un temps T1 à la vitesse V', donc T1 = (50+x) / V'
Donc x/V = (50+x)/V' ou bien dit autrement x / (50 + x) = V/V' (I)
2 - La fourmi de tête atteint l'extrémité C en un temps T2 (en partant de X)
Au terme de T2, la fourmi de queue a retrouvé sa place en queue de colonne en parcourant la distance x en arrière pour atterrir au point B (puisque la colonne a parcouru D = 50 cm qui se trouve être la longueur de la colonne de fourmis)
La fourmi de tête a parcouru D - x cm en un temps T2 à la vitesse V donc T2 = (50 - x) / V
La fourmi de queue a parcouru x cm en un temps T2 à la vitesse V', donc T2 = x / V'
Donc ( 50 - x) / V = x / V' ou bien dit autrement (50 - x) / x = V/V' (II)
De (I) et (II) on tire x / (50 + x) = (50 - x) / x soit x2 = 502 - x2 ou encore x = 50 / √2
(où √2 désigne la racine carrée de 2)
La fourmi de queue aura parcouru 50 + x cm à l'aller et x cm au retour soit 50 + 2.x cm
Dans ce cas particulier la fourmi de queue a parcouru 50.(1+√2) cm soit environ 120,7 cm
Pour L = D quelconque, la fourmi de queue a parcouru L.(1+√2) cm
Cas général (L différent de D)
Dans la deuxième étape (durée T2 durant laquelle la fourmi de tête a parcouru D - x depuis sa position en X), la fourmi de queue n'a aucune raison de revenir au point B.
Qualitativement, on voit que si L < D, la queue de la colonne de fourmi doit se trouver à droite de B (et réciproquement si L > D, la queue de la colonne de fourmi doit se trouver à gauche de B).
La fourmi de queue aura donc parcouru la distance x + L - D sur la durée T2
La fourmi de tête a parcouru D - x cm sur la durée T2 à la vitesse V donc T2 = (D - x) / V
La fourmi de queue a parcouru x + L - D cm sur la durée T2 à la vitesse V',
donc T2 = (x + L - D) / V'
On a le système d'équation :
(Ibis) x / (L + x) = V/V'
(IIbis) (D - x) / (x + L - D) = V/V'
En éliminant comme précédemment le ratio V/V', on obtient
x.(x + L -D) = (D - x).(L + x) qui se réarrange en
2.x2 + 2.(L - D).x - L.D = 0 (équation du 2nd degré en x de la forme a.x2 + b.x + c)
Le discriminant réduit est ∆' = (L - D)2 + 2.L.D = L2 + D2
On ne retient que la racine positive x = (- (L - D) + √∆') / 2
La fourmi de queue aura parcouru L + x cm à l'aller et x + L - D cm au retour
soit L + 2.x + L - D cm au total. On voit que le terme L - D se simplifie
La distance totale parcourue est L + √(L2 + D2),
où √(L2 + D2) désigne la racine carrée de (L2 + D2)
On retrouve bien le résultat simplifié pour L = D = 50 cm.
Bonjour
Quand on répond plus dix ans après , on n'est plus à cinq minutes près pour bien lire l'énoncé....
Des fourmis se déplacent en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse
constante, en formant une colonne de X cm de long. La dernière fourmi du
groupe décide d'aller ravitailler la fourmi en chef et pour cela rejoint la tête
de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne. Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru X cm, déterminer en fonction de X la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse.
À l'époque l'île n'était pas aussi calme que maintenant , tu peux imaginer que si Glapion s'était trompé , il y aurait eu du monde pour le lui faire remarquer , depuis le temps !
Votre remarque est tout à fait juste. Oui j'ai mal lu l'énoncé (un cas particulier et pas le cas général que j'avais cru identifier en voyant X) et oui cela ce serait passé comme vous dîtes : d'autres auraient manifesté depuis longtemps leur opinion.
A ma décharge je suis novice sur ce forum, et je me suis trompé en pensant implicitement qu'il ne pouvait pas s'agir d'un blocage sur l seule longueur de colonne = distance parcourue (passer de 50 cm à X quelconque). Mon but état plutôt de trouver s'il y avait des sites "évidents" et "gratuits" par une simple requète Google qui fournissaient la solution générale (longueur de colonne différente de longueur parcourue) quand la personne à qui j'ai posé amicalement ce petit problème m'a donné laconiquement la réponse de ChatGPT : 1000 fois le coût environnemental d'une simple requète sur un moteur de recherche type Google (sans démonstration et à la lecture de la réponse au prompt, j'ai trouvé la réponse de ChatGPT ..."pas claire" . Donc étais dans ma bulle et j'ai voulu donner la solution générale sur votre site en espérant qu'un LLM pourrait le capter une prochaine fois ...
Explication n'est pas raison. Mais bon ...
Bonjour,
Il y avait une erreur dans le message du 04-12-15 à 23:18, mais elle a été corrigée dans le message du 05-12-15 à 08:59
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