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Problème de limite en 0 sur un DM

Posté par
Guillaume1s
16-02-16 à 16:32

Bonjour à tous et à toutes,
C'est la première fois que j'écris ici et j'espère que vous arriverez à m'aider sur mon exercice qui porte sur la dérivabilité(sur la limite en 0 principalement)
L'énoncer parait simple : Calculer \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{2016}-1}{x}
Mais cela fait plus de 4heures que je cherche une solution :-/
Dans un premier temps la réponse me paraissait évidente puisqu'il suffisait de remplacer x par 0 puis je me suis rendu compte que cela était impossible car il ne faut jamais de 0 au dénominateur.J'ai donc essayer différentes méthodes ( factorisation,conjugué...) pour enlever le x du dénomionateur cependant je revenais toujours à un produit égal à 0 lors du passage à la limite...Je me suis dit qu'il n'y avait alors pas de limites mais cela me semble étrange.

Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider!  

Posté par
Iderden
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 16:35

Salut,

Considère la fonction f définie par f(x)=(1+x)^{2016} et exprime ton quotient en fonction de f(x) ; pense au taux d'accroissement.

Posté par
Guillaume1s
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 17:09

Salut Iderden ,
Tout d'abord merci pour ta réponse ,
Si j'exprime mon quotient par f(x) cela me donne \frac{f(x)-1}{x}
Le taux d'accroissement de f entre les réels 1 et x+1 serait r(x)=\frac{f(x+1)-f(1)}{x}
Soit r(x)=\frac{f(x+1)-1}{x}
Je vois pas trop où cela me mène :-/

Posté par
Iderden
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 17:33

Non, c'est \dfrac{(1+x)^{2016}-1}{x}=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}

Posté par
Guillaume1s
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 21:21

Ah oui je vois je me suis rendu compte de mon erreur
Cependant je vois pas où cela me mène dans le calcule de la limite ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 21:22

Vers quoi tend par définition le taux d'accroissement \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} quand x tend vers 0 ?

Posté par
Mathieu95670
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 22:10

sinon tu multiplie par 2 le haut et le bas :
\frac{2(1+x)^{2016}-2}{2x}
Et la l'indétermination saute.

Posté par
Mathieu95670
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 22:11

\frac{2(1+x)^{2016}-2}{2x}
* petit bug pardon

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 22:30

pourquoi elle saute ?

Posté par
Mathieu95670
re : Problème de limite en 0 sur un DM 16-02-16 à 22:36

si tu remplace x par 0 sa donne :
\frac{2^{2016}-2}{0}
Donc vulgairement : lim(I/0)  avec I constante
et en regardant dans le tableau :
https://www.ilemaths.net/maths_1_limites_tableau_cours.php

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème de limite en 0 sur un DM 17-02-16 à 11:15

désolé Mathieu95670, mais tu ne racontes pas des choses exactes, si tu remplaces x par 0 dans 2(1+x)2016-2 ça donne 2-2 = 0 donc la forme 0/0 qui est tout aussi indéterminée qu'au début.

Posté par
Guillaume1s
re : Problème de limite en 0 sur un DM 17-02-16 à 17:04

Merci pour vos réponses cependant je crois que la méthode de mathieu95670 est fausse car 2*0 donne toujours 0 au dénominateur :/
En revanche pour répondre à Glapion la seule définition que je connais sur le tau d'accroissement est : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a étant un réel appartenant à I et h un réel tel que a + h appartienne à I. On appelle taux d'accroissement de la fonction f entre a et a + h, le rapport  \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
Ducoup je n'arrive pas à calculer la limite

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème de limite en 0 sur un DM 17-02-16 à 17:08

et par définition ça tend vers quoi ? ..... vers f '(a)

Posté par
Guillaume1s
re : Problème de limite en 0 sur un DM 17-02-16 à 17:25

Oui mais f'(a) est ce qu'on cherche non ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème de limite en 0 sur un DM 17-02-16 à 22:36

C'est \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{2016}-1}{x} que tu cherches.

Avec les éléments que l'on t'a donnés tu devrais trouver maintenant.

Posté par
Guillaume1s
re : Problème de limite en 0 sur un DM 17-02-16 à 23:11

D'accord j'ai bien relus toute la conversation et j'ai retravailler l'exercice sur papier...
Si j'ai bien compris à partir du quotient de départ on obtient le taux d'accroisement de f(x)=(x+1)^{2016} en 0 ce qui correspondrait à f'(0) =\frac{(x+1)^{2016}-1}{x}
On aurait donc la limite en 0 du quotient ?
Je suis un peu perdu car je ne procède pas comme ça d'habitude pour le calcule de la limite

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème de limite en 0 sur un DM 17-02-16 à 23:43


C'est donc un accroissement qui tend vers f '(1) avec f(x) = x2016
il suffit donc de calculer la dérivée de f(x) : f '(x) = 2016x2015
et de calculer f'(1) = 2016 pour trouver la limite.

Posté par
Guillaume1s
re : Problème de limite en 0 sur un DM 18-02-16 à 16:01

Dans l'ensemble j'ai compris la démarche mais parcontre je comprend pas pourquoi on utilise tout d'abord la fonctionf(x)=(x+1)^{2016} pour ensuite utiliser la fonction f(x)=x^{2016} ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème de limite en 0 sur un DM 18-02-16 à 16:06

récapitulons : on nous demande la limite de \dfrac{(1+x)^{2016}-1}{x}

on voit que c'est de la forme ( f(1+x)-f(1))/(x-1) avec f(x) = x2016, OK ?

on en déduit que ça tend vers f '(1) quand x tend vers 0 (c'est la définition de la dérivée)

on calcule f '(x) = 2016x2015 puis f '(1) = 2016

Posté par
Guillaume1s
re : Problème de limite en 0 sur un DM 18-02-16 à 18:26

Ok merci , la confusion venait de la réponse de Iderden
Je te remercie beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider !



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