Bonjour,
j'ai cet exercice à resoudre mais une quesion me bloque; Voici l'énoncé:

On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. cette puce se déplace sur 3 cases notées A,B et C. A l'instant 0, la puce est en A.
Pour tout entier naturel n :
- Si à l'instant n la puce est en A, alors à l'instant (n+1), elle est : soit en B avec une probabilité égale à 1/3 soit en C avec une proba égale à 2/3.
- Si à l'instant n la puce est en B, alors à l'instant (n+1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable.
- Si à l'instant n la puce est en C, elle y reste.
On note An (respectivement Bn et Cn) l'événement " à l'instant n la puce est en A" (respectivement en B, en C).
On note an (respectivement bn et cn) la proba de l'événement An (respectivement Bn, Cn).
On a donc : a0=1, b0 = c0 = 0
Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.

1- j'ai Calculé ak, bk, ck pour k entier naturel tel que 1< ou égal à k < ou égal à 3.

2- a)j'ai montré que, pour tout entier naturel n, an+bn+cn = 1 et a(n+1) = 1/2bn et n(n+1) = 1/3 an
  b) j'ai montré que pour tout entier naturel n, a(n+2) = 1/6 an.
  c) C'est là que je coince! En déduire que pour tout entier naturel p,
a(2p)=(1/6)^p et a(2p+1) = 0
b(2p)=0 et b(2p+1)=(1/3)*(1/6)^p
J'ai essayé la recurence mais je n'y arrive pas.Voici mon raisonnement :

a(n+2) = 1/6 an
dém pour a(2p)=(1/6)^p :
-au rang 1 j'ai vérifié c'est vrai a0=1
- pour l'hérédité ça coince on suppose a(2p) vrai ; pour le rang a(2p+2)

A(2p+2)= a(2p)+ a(n+2) ??? je ne vois pas du tout comment demontrer ça …

Dem pour a(2p+1) alors là vraiment … je ne sais pas quoi faire
Je sais juste que « a(n+1)=1/2 bn »

Dem pour b(2p) :
Je sais que b(n+2)=1/6 bn = 1/3 x ½ bn

Et pour b(2p+1) je ne sais pas non plus sauf que b(n+3)=1/3 a(n+2)
Mais je ne sais pas mettre en relation ces égalités.

Voilà merci pour l'aide que vous m'apporterez... je suis totalement bloquée...