Niveau terminale

Problème de probabilité

Posté par Sandra1002 (invité) 19-09-04 à 19:18

Salut
Voici l'énoncé :
Dans un magasin de matériel informatique, une étude de la clientèle des ordinateurs montre que 25% des clients achètent un ordinateur portable, 40% achètent un ordinateur fixe à moins de 1000 euro et le reste des clients achète un ordinateur fixe à plus de 1000 euro.
La probabilité pour qu'un client choisisse un ordinateur avec lecteur DVD est de 0,8 chez les acheteurs de portable, 0,2 chez les acheteurs de "fixes" à moins de 1000 euro et de 0,5 pour les autres.

1) Calculer la probabilité pour qu'un acheteur choisi au hasard s'équipe d'un lecteur DVD.

2) Un acheteur de ce magasin possède un ordinateur avec lecteur DVD. Quelle est la probabilité que ce soit un portable?

J'aimerai que quelqu'un m'aide à répondre à ces questions parce que j'ai vraiment rien compris!

Sandra

Posté par OUAICH un exo de proba

19-09-04 à 19:48

Salut Sandra1002 ,

Alors traduisons tes hypothèses en terme de probabilité.
Notons les évènements suivants :
A:"le client achète un ordinateur portable"
B:"le client achète un ordinateur fixe à moins de 1000 euros"
C:"le client achète un ordinateur fixe à plus de 1000 euros"
D:"l'ordinateur acheté par le client est muni d'un lecteur DVD"

Par hypothèses, on a :
$p(A)=25%=\frac{1}{4}$
$p(B)=40%=\frac{2}{5}$
$p(B)=1-(40%+25%)=1-65%=35%=\frac{7}{20}$

$p(D|A)=0,8=\frac{4}{5}$ (proba pour que l'acheteur ait un DVD sachant qu'il a acheté un portable)
$p(D|B)=0,2=\frac{1}{5}$ (proba pour que l'acheteur ait un DVD sachant qu'il a acheté un fixe à moins de 1000 euros)
$p(D|C)=0,5=\frac{1}{2}$ (proba pour que l'acheteur ait un DVD sachant qu'il a acheté un fixe à plus de 1000 euros)

Nous pouvons à présent passer aux questions :

1) Calculer la probabilité pour qu'un acheteur choisi au hasard s'équipe d'un lecteur DVD.
Alors un acheteur pris au hasard 1 chance sur 4 de prendre un portable et si c'est le cas, il a alors 4 chances sur 5 d'avoir un DVD, mais il a également 2 chance sur 5 d'acheter un fixe à moins de 1000 euros, auquel cas, il a 1 chance sur 5 d'avoir un DVD, et enfin, il a 7 chance sur 20 d'achetr un ordinateur fixe à plus de 1000 euros, auquel cas il a 1 chance sur 2 d'avoir un DVD. Au total, on a donc :

$\rm~p(D)~=~p(A)\times~p(D|A)~+~p(B)\times~p(D|B)~+~p(C)\times~p(D|C)$
$\rm~p(D)~=~\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}~+~\frac{2}{5}\times\frac{1}{5}~+~\frac{7}{20}\times\frac{1}{2}$
$\rm~p(D)~=~\frac{4}{20}~+~\frac{2}{25}~+~\frac{7}{40}$
$\rm~p(D)~=~\frac{40}{200}~+~\frac{16}{200}~+~\frac{35}{200}$
$\rm~p(D)~=~\frac{91}{200}$

CONCLUSION : La probabilité qu'un acheteur pris au hasard s'équipe d'un lecteur DVD est de $\frac{91}{200}$

2) Un acheteur de ce magasin possède un ordinateur avec lecteur DVD. Quelle est la probabilité que ce soit un portable?

Ici, il va falloir appliquer la célèbre formule :

$\rm~p(B|A)~=~\frac{p(A~\cap~~B}{p(A)}$

On a donc :

$\rm~p(A|D)~=~\frac{p(A~\cap~~D}{p(D)}$
$\rm~p(A|D)~=~\frac{p(A)\times~p(D|A)}{p(D)}$
$\rm~p(A|D)~=~\frac{\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}}{\frac{91}{200}}$
$\rm~p(A|D)~=~\frac{1}{5}\times\frac{200}{91}$
$\rm~p(A|D)~=~\frac{40\times5}{5\times91}$
$\rm~p(A|D)~=~\frac{40}{91}$

CONCLUSION : La probabilité qu'un acheteur équipé d'un DVD aie acheté un ordinateur portable est égale à $\frac{40}{91}$

Voili, voilou .
Si tu as la moindre question n'hésite pas .

À +

Posté par Sandra1002 (invité)Merci 19-09-04 à 20:00

Quelle rapidité ! Si g questions sur ce sujet, je n'hésiterai pas!

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