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Problème de rectangle fonction

Posté par
avatar33 16-09-12 à 22:01

Sur un terrain limité par une rivière, on construit une clôture rectangulaire ABCD (mais on ne fait pas de clôture sur le côté AD, le long de la rivière). On appelle a la longueur totale de la clôture. On veut savoir quelle forme exacte donner au rectangle ABCD pour que son aire soit maximale.

1/ On nomme x = AB. Montrer que l'aire du rectangle ABCD vaut f(x) = -2x2 + ax

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:02

Excusez moi, j'ai oublié de vous saluez et de vous remerciez pour vos réponses. Je n'arrive pas à répondre à cette question, merci

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:07

Nonjour,

la longueur totale de la cloture est a = AB + BC + CD
l'aire est AB*BC
x = AB
avec ça tu as tout (pour calculer BC et CD et l'aire)

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:11

Je ne comprends pas d'où sort le -2

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:25

tu mets tes calculs ?

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:28

Vu que AB = x
AB*BC = x*(a-x-CD)
Mais ce n'est pas ça..

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:31

et CD dans ce rectangle il vaut combien ??

(propriétés d'un rectangle ...!)

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:33

CD vaut x

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:35

oui. Et donc ça donne quoi "AB*BC = x*(a-x-CD)" ?

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 22:42

AB*BC = x*(a-2x) = ax - 2x2 Merci !
J'ai encore un question, f est en trinôme du second degré, pour le mettre sous forme canonique il faut faire :
f(x) = -2x2 + ax
a = 2   b = a   c = 0
delta = (ax)2 + 42*2*0
delta = (ax)2

C'est juste ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 23:02

il n'y a pas de x dans

calcul direct de la forme canonique par le début du carré de (x - ... ) :
f(x) = -2[ x² - (a/2)x ] = -2[ (x - a/4)² - a²/16 ]

calcul par le :
comme il y a déja un 'a' dans f(x) tu vas te mélanger les pinceaux avce le "b² - 4ac" donc tu appelles Ax² + Bx + C pour bien faire la différence.

ici A = -2, B = a, C = 0
= B² - 4AC = ...
forme canonique :

f(x) = A[ (x - B/2A)² - /(4A²) ] = ...

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 23:05

Je n'ai pas du tout compris !

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 23:30

Révises.

mon premier calcul est, plutôt que d'appliquer des formules du formulaire, de reconstruire directement la forme canonique, exactement de la même façon que quand on a démontré ces "formules du formulaire". (revois ton cours pour voir comment c'était fait)

Tu avais écrit :

Citation :
pour le mettre sous forme canonique il faut faire :
f(x) = -2x2 + ax
a = 2 b = a c = 0
delta = (ax)2 + 42*2*0
delta = (ax)2


a = 2 b = a c = 0
ces deux "a" là ne sont pas le même !!
en plus le premier c'est a = -2, pas 2

j'écris :
A = -2 B = a C = 0 c'est à dire le trinome Ax² + Bx + C = -2x² + ax
(pour bien distinguer le "A" des formules et le "a" de l'énoncé)


delta = (ax)2 + 42*2*0

c'est quoi cette formule de ?? (révises !)
= B² - 4AC !
c'est à dire = a² - 4(-2)(0) = a²

tu avais écrit toi-même "b = a", pas "b = ax" !!

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 23:35

Je suis d'accord avec vous pour = a carré
Je m'arette la ou je poursuis, sachant qun carré est toujours positif, blablabla

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 16-09-12 à 23:38

ben je sais pas.
quelle est la question ? la suite de l'énoncé ? c'est toi qui vois ...

tu t'étais arrêté là

Citation :
1/ On nomme x = AB. Montrer que l'aire du rectangle ABCD vaut f(x) = -2x2 + ax

et rien d'autre.

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 18:51

Il faut que je mette cette expression sous sa forme canonique

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 19:58

j'ai trouvé f(x) = -2 (x2 - (a/2)x)
= -2 (x-(a/4))2 - a2/16
= -2 (x-(a/4))2 + -a2/8
= -2 (x-(-a/4))2 + -a/8

La dernière forme est la forme canonique, c'est juste ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 20:02

Bon c'est quoi la forme canonique ? comment l'obtient-on ?
voir cours et appliquer (sans se tromper) les formules et/ou méthodes.

je t'ai montré la méthode jusqu'au bout.

tu as cherché à appliquer les formules en calculant et tu as obtenu, après correction, = a²
ton calcul pour obtenir la forme canonique ne s'arrète pas au calcul de , non ???
poursuis le en révisant ton cours

tu y trouveras une formule du genre (attention aux symboles le A c'est la forme générale de Ax² + Bx + C et n'a rien à voir avec le 'a' de l'énoncé. Je t'ai déja expliqué ça) :

Ax² + Bx + C = A[ (x - B/2A)² - /(4A²) ]

pour appliquer "directement" (pour ne pas dire "mécaniquement" ) cette formule tu remplaces A par -2, B par a, et C par 0 et tu obtiens :
???

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 20:12

Bon nos posts se sont croisé et j'ai vu que tu avais calculé entre temps :

j'ai trouvé f(x) = -2 (x2 - (a/2)x)
= -2 (x-(a/4))2 - a2/16

faux :
-2 [(x-(a/4))2 - a2/16]

et donc la suite est fausse aussi
mais de toute façon c'est ça la forme canonique
c'est fini.

tu avais continué avec :

= -2 (x-(a/4))2 + -a2/8

qui par le jeu d'une erreur sur une erreur redevient juste !
mais c'est quoi cette écriture "+ -" ???

= -2 (x-(-a/4))2 + -a/8
par contre là c'est complètement faux !!!
le a² reste a² et il ne disparait pas comme ça !!!
et qu'est ce que c'est que ce changement de signe devant a dans x-(a/4) ???

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 20:45

Je suis complètement perdu dans toutes ces explications !

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 20:57

le résultat final est : -2 (x-(-a/4))2 + -a2/8
Oui il y a deux "-" car je l'ai oublié dans la ligne du dessus car la formule est " a(x-(-b/2a)2

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 21:06

C'est surtout les calculs faux et sans signification qui te font perdre :

Tu avais calculé

Citation :
f(x) = -2 (x2 - (a/2)x)
= -2 (x-(a/4))2 - a2/16


et je te dis que c'est faux
le terme a2/16 n'est pas là où tu l'as mis, en belles formules bien lisibles ça donne ça :

f(x) = -2 (x^2 - \frac{a}{2}x)
le -2, il est en facteur de tout ce qu'il y a entre ()
donc maintenant tu dis (sans le dire)
(x^2 - \frac{a}{2}x) est le début du carré (x - \frac{a}{4})^2 et il y a "en trop" le terme (\frac{a}{4})^2 = \frac{a^2}{16} donc tu écris (enfin tu aurais du écrire) que
x^2 - \frac{a}{2}x = (x - \frac{a}{4})^2 - \frac{a^2}{16}

mais f(x) c'est -2 fois TOUT ça :

f(x) = -2 (x^2 - \frac{a}{2}x) = -2{\red (}(x - \frac{a}{4})^2 - \frac{a^2}{16}{\red )}
et non pas comme tu l'as écrit juste -2 fois le premier petit bout !

et la forme canonique de f(x) c'est ça et rien d'autre le calcul est fini

et ensuite tu te plains que tu te perds dans d'autres calculs (d'ailleurs faux) ensuite qui n'ont rien à voir avec le calcul de la forme canonique !

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 21:14

Citation :
Oui il y a deux "-" car je l'ai oublié dans la ligne du dessus car la formule est " a(x-(-b/2a)2


et avec "la formule" quand tu mets dedans cette "formule" : "b" = a et "a" = {\red -}2 ça te donne non pas la nouvelle formule x-(-a/4) = x+a/4 qui est fausse mais la formule de la ligne du dessus x-a/4 qui était juste

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 21:21

D'accord merci j'ai enfin compris !
Ma dernière question est de répondre à la question posée : On veut savoir quelle forme exacte donner au rectangle ABCD pour que son aire soit maximale.
Pouvez vous me donner une piste ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 21:28

Tu as la forme canonique que l'on va écrire :

f(x) = -2((x - \frac{a}{4})^2 - \frac{a^2}{16}) = 2(\frac{a^2}{16} - (x - \frac{a}{4})^2)

(x - \frac{a}{4})^2 est toujours 0 et n'est nul que si x = a/4 ...

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 21:31

Pour que son aire soit maximale il faut qu'elle soit égale a a2/16 ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 21:45

presque.

mais la question est "pour que son aire soit maximale il faut que x prenne la valeur ..."
("quelle est la forme", la forme est définie par x)

et alors (quand x a cette valeur), cette aire maximale sera ...
(ne pas oublier le facteur 2 devant toute l'expression)

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 21:59

Pour que son aire soit maximale il faut que x prenne la valeur -2*a/4  car le maximum est atteint quand -2(x-a/4)2= 0 soit quand x = -2*a/4 soit -2a/4. Quand x a cette valeur, cette aire sera égale a - a2/16

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 22:05

-2(x-a/4)2= 0
quand (x-a/4) = 0 c'est à dire ...

Quand x a cette valeur, cette aire sera égale à
f(x) = 2{\red (}\frac{a^2}{16} - (0)^2{\red)} = ???

errare humanum est, perseverare diabolicum ...
(l'erreur est humaine, persévérer dans l'erreur est l'oeuvre du diable)

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 22:15

La maximum est atteint lorsque -2(x-a/4)2= 0 c'est a dire quand x = a/4, ce maximum vaut 2a2/16

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 22:38

Voila, c'est juste

mais 2a²/16 se simplifie d'habitude en a²/8

Posté par
avatar33re : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 22:41

Merci par contre je reviens 2 sec sur la forme canonique, au départ on a -2x2 + ax
pourquoi on ne garde pas le positif à la place du négatif après x2 dans -2(x2-(a/2)x)

Posté par
mathafou Moderateurre : Problème de rectangle fonction 17-09-12 à 23:02

"- par - donne +"
quand tu mets en facteur un facteur négatif (ici "-2") tous les termes changent de signe :

-3A + 6B - 12C = -3(A - 2B + 4C)


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