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Problème de suites

Posté par
Bobinette2203
17-02-17 à 12:12

Bonjour,

J'ai un exercice que je n'arrives pas à faire donc je voudrais savoir si quelqu'un pouvait m'aider, voici l'énoncé :

Dans la figure ci-contre tous les triangles sont équilatéraux.
1)Montrer que la suite (a_{n}) des aires des disques est géométrique.
2)Montrer que la suite (b_{n}) des aires des triangles est géométrique.

Merci d'avance pour votre aide.

Problème de suites

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 12:19

Bonjour ,

calcule dans chaque cas la raison de la progression .

Cordialement

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 12:22

Oui cependant je ne vois pas comment le faire avec le peu d'informations qu'on a

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 12:26

Tu peux poser   r = rayon d'un cercle  et tu exprimes  R  (rayon du cercle suivant) en fonction de  r .
Comme les aires des cercles sont proportionnelles au carré des rayons ...

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 12:33

On pose r le rayon d'un cercle,

Aire = \Pi \times r²

Mais après je ne vois vraiment pas comment faire pour les cercles suivants

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 13:42

Et avec ce schéma (que tu aurais pu faire)    R/ r =  ...

Problème de suites

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 14:11

Merci pour votre schéma du coup R/r semble être égal à 2 ?
Mais je ne vois pas trop le raisonnement, j'ai un peu de mal à comprendre ou cela va nous amener

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 14:52

R = 2 r   ( r est égal à la moitié d'un côté d'un triangle équilatéral de côté R)
R² = 4 r²

An =
An+1 = R² =...

la progression est donc  ... et la raison est ...

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 15:02

Du coup cela fait
A_{n+1}=\Pi R²=\Pi \times (2r)²=\Pi \times 4r²  ?

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 16:04

Mais oui tout simplement . Et donc  ....

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 16:16

la raison est 4 du coup non ?

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 16:29

Très bien . Reste à faire pareil (ou presque) pour les triangles .

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 16:36

Mais il y a quelque chose de je ne vois pas comment faire c'est pour la rédaction car je ne vois pas comment justifier que R = 2r

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 16:44

Déjà dit  "r est égal à la moitié d'un côté d'un triangle équilatéral de côté R"

Problème de suites

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 16:51

Donc je dis que je pose R la longueur d'un coté d'un triangle isocèle et r la moitié de ce coté d'ou

Aire d'un disque de rayon r = \Pi r²

donc un disque de coté R a pour aire ce que l'on a trouvé avant

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 17:04

Tu peux aussi faire un peu de trigo (plutôt que de la géométrie)   r/R = ...

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 17:06

R/r = cos 60 ?

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 17:06

r/R pardon

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 17:15

Oui  et donc ...

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 17:26

Et donc \frac{1}{2}R ?

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 17-02-17 à 17:31

cos 60° = 1/2     donc     r/R = cos 60° = 1/2     et     R =  2 r

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 17:34

D'accord merci bien pour votre aide

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 17-02-17 à 17:34

Je vais maintenant essayer de faire la partie 2

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 19-02-17 à 17:40

Bonjour,

J'ai essayé de rédigé cet exercice mais cependant je ne parviens pas a prouver pourquoi on cherche le cos de 60° et comment on sait que le triangle que l'on a former est équilatérale je voudrais donc savoir si quelqu'un peut m'aider

Merci d'avance

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 19-02-17 à 17:58

360° / 6 = ...

Problème de suites

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 19-02-17 à 18:15

360°/6 ça nous fait bien 60°
mais je dois énoncer une propriété particulière ?  

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 19-02-17 à 18:35

Je pense que le schéma suffit .

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 19-02-17 à 18:44

d'accord merci, est ce que vous auriez le temps de éclaircir pour la partie 2 car je suis de nouveau perdu je ne vois pas comment faire.

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 19-02-17 à 19:03

Tu fais comme pour les cercles . Exprime l'aire des triangle  bn  et  bn+1   en fonction du côté du triangle bn  par exemple

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 19-02-17 à 19:21

Je fais ca avec r et R ?

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 19-02-17 à 19:34

Tu ne semble pas avoir lu ce que je viens de poster .

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 19-02-17 à 19:36

si mais je parlais pour trouver bn je me sert de ce que l'on a trouver avant non ?

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 19-02-17 à 19:58

Je penses essayer avec la regle des 2/3 et 1/3

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 19-02-17 à 20:25

je ne vois pas en quoi cette règle que je ne connais pas peut t'être utile .

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 19-02-17 à 20:27

Ce qu'on a trouvé concernait les cercles . Il faut transposer cela pour les triangles . C'est tout . Rien qu'en regardant le schéma on voit la réponse .

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 19-02-17 à 21:40

La règle des 2/3 1/3 c'est que 2/3 de la hauteur se trouve au dessus du point d'intersection des hauteurs et que 1/3 se trouve en dessous, cela pourrait nous aider non ?

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 19-02-17 à 22:03

tu as un triangle équilatéral . exprime son aire  bn  en fonction de son côté que tu peux appeler  cn par exemple .
bn = ...
ensuite tu as le triangle suivant (en fonction de cn+1
bn+1 = ...

et comme cn+1 = 2 cn    ,   ...

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 20-02-17 à 00:40

Donc cela donne tout simplement cela non ?

Soit c la longueur d'un coté du triangle T

A_{T}=\dfrac{c\times h}{2}

b_{n}=\dfrac{c\times h}{2}

Soit C la longueur d'un coté du triangle T'

A_{T'}=\dfrac{C\times h}{2}

A_{T'}=\dfrac{2c\times h}{2}

b_{n+1}=\dfrac{2c\times h}{2}

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 20-02-17 à 06:42

Es-tu sûr que c'est le même  h  pour le petit et pour le grand triangle . Et combien vaut la hauteur d'un triangle équilatéral ?

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 20-02-17 à 10:39

La hauteur d'un triangle vaut \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times c

Ah oui du coup pour l'aire de T' on a ca ?

A_{T'}=\dfrac{C\times H}{2}

A_{T'}=\dfrac{2c\times 2h}{2}

A_{T'}=c\times h

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 20-02-17 à 17:45

Il ne faut pas oublier ce qu'on cherche : la raison de la progression .

Citation :
AT'=c x h
   Erroné . C'est quoi  AT' . Dans l'énoncé il n'y a que bn  et  bn+1

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 20-02-17 à 18:10

Ah oui donc cela nous donne ca ?

b_{n}=\dfrac{c\times h}{2}

b_{n+1}=c\times h

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 20-02-17 à 18:36

bn   est correct mais pas   bn+1

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 20-02-17 à 18:40

Pourtant les 2 se simplifient non ?

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 20-02-17 à 19:12

Pas tous . Pose l'expression depuis le départ et avance pas à pas .

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 20-02-17 à 19:25

Ah oui autant pour moi

b_{n+1}=\dfrac{C\times H}{2}

b_{n+1}=\dfrac{2c\times 2h}{2}

b_{n+1}=\dfrac{4\times c\times h}{2}

b_{n+1}=2 \times c\times h

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 20-02-17 à 20:08

et donc la suite est  ....    de raison ....

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 20-02-17 à 20:15

du coup on peut ecrire

b_{n+1}=4 \times \dfrac{c \times h}{2}

avec une raison de 4 ?

Posté par
Bobinette2203
re : Problème de suites 20-02-17 à 20:45

Je viens de me rendre compte d'un problème dans notre résonnement, je ne vois pas comment prouver que C=2c et que H=2h

Posté par
fm_31
re : Problème de suites 20-02-17 à 21:43

Les triangles étant tous équilatéraux ....

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