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probleme en maths
bonjour j'ai un probleme sur un exercice de maths, aidez moi svp, voici l'énoncé:
ABCD est un tétraèdre.
F désigne le milieu de (AD), G le centre de gravité du triangle ABC, et E le point du plan (BCD) tel que BDCE soit un parallèlogramme.
1)Vérifier que D est le barycentre de (B;1)(C;1) et (E;-1).
2)Démontrer l'alignement des points E,F et G.
Pour avoir plus d'information c'est le n°55p345 du livre de maths de 1ere S Déclic hachette.
Merci d'avance .
1) on sait que BDCE est un parallélogramme donc :
BE=DC <=> DC-BE=0 <=> DC-BD-DE=0 <=> DC+DB-DE=0 donc D est bien le barycentre de (B,1) (C,1) (D,1)
2) Montrer que les points E, F et G sont alignés revient à démontrer que les vecteurs GF et EG sont colinéaires, soit que EG = k.GF
Comme G est le centre de gravité du triangle ABC, G est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,1), donc on peut écrire GA + GB + GC = 0
On part de cette égalité dans le but d'arriver à une égalité de la forme EG = k.GF :
GA+GB+GC=0
GF+FA+GF+FB+GF+FC=0 (d'après Chasles)
3GF +FA + FB + FC = 0
3GF -FD +FD+DB +FD+DC = 0 (FA=(-FD) puisque F est le milieu de AD)
3GF+DB+DC+FD=0
3GF+ DE + FD = 0 (D barycentre de (B,1) (C,1) (E,-1) donc DB+DC-DE=0 donc DB+DC=DE)
3GF+ DG+GE+FG+GD = 0 (Chasles)
2GF + GE = 0
EG = 2GF
donc les vecteurs EG et GF sont colinéaires, et les points E, F et G sont bien alignés.
(j'ai rédigé rapidement je ne sais pas ce qu'on exige de toi en ce qui concerne la rédaction)
Bye.
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