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Problème : patron d'un cône sans base

Posté par
Seeven7 17-09-11 à 14:16

Bonjour,

J'ai un DM assez cours à faire mais je suis bloqué dès la première question :S
Même après avoir cherché dans un livre de géométrie et sur le net, je ne trouve pas de moyen de répondre à cette question.

Voici l'énoncé résumé :

_______________________________________


Le patron d'un cône est un secteur angulaire comme ci-contre

Problème : patron d\'un cône sans base (désolé du schéma fait sur Paint).
* Tom_Pascal > image placée sur le serveur de l', merci d'en faire autant la prochaine fois Seeven7 *

On a :
α ϵ ]0 ; 2π[
AB = AC = 1

On appelle V la fonction qui à α associe associe le volume V(α) du cône.
On appelle R le rayon du disque de base du cône et h sa hauteur.

1. Exprimer R en fonction de α.
2. Exprimer h en fonction de R, puis en fonction de α.
3. En déduire V(α).

_______________________________________

Pour les questions 2. et 3., je pense que je pourrai m'en sortir plus facilement après avoir trouvé la réponse à la 1.

J'aimerais avoir quelques indices pour y répondre car je n'ai rien trouvé pour le moment :S

Merci d'avance pour vos réponses.
Léo.

PS : on est en Terminale sur un chapitre sur la dérivabilité et la continuité, mais je ne trouve pas de rapport avec la première question, c'est pourquoi j'ai rangé ma question sur ce forum

Posté par
veledare : Problème : patron d'un cône sans base 17-09-11 à 14:34

bonjour,
pour former le cône tu amènes la génératrice AC sur AB,l'arc BC du secteur circulaire devient le  cercle de base du cône donc  longueur  L de l'arc BC=périmètre du disque de base=2\pi R=>R=\frac{L}{2\pi}
il reste à exprimer L ,L=...

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 17-09-11 à 23:17

Bonjour, merci de ta réponse.

Alors j'ai trouvé L = (α*2πR)/360

Donc R = (α*2πL)/360

Mais si j'essaie de faire disparaître l'inconnue L, je trouve ceci :

\Large R = \frac {\alpha 2 (\frac {\alpha 2 \pi R}{360})}{360}

\Large R = \frac {(\alpha 2 \pi)^2 \times R}{360^2} (si je n'ai pas fait d'erreur)

Mais j'ai l'impression que ça ne mène nulle part car si je veux faire passer R à gauche, ça me ferait
R/R = [(α2π)²]/360² = 1 ...

À moins que je ne dise n'importe quoi à propos de la dernière ligne, je pense me tromper de chemin.

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 17-09-11 à 23:26

Pour la première expression en LaTeX R = \frac{\alpha 2(\frac {\alpha 2 \pi R}{360})}{360}, je me suis trompé, j'ai oublié le π, donc :

\Large R = \frac{\alpha 2 \boxed{\pi} (\frac {\alpha 2 \pi R}{360})}{360}

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 00:03

Alors, plusieurs erreurs de ma part, j'ai confondu R le rayon de la base du cône avec "r" le rayon de l'arc de cercle (ce qui est pour nous la génératrice AB ou BC).
De plus, j'ai confondu L et R dans mes égalités. Bien entendu, il s'agissait des formules pour calculer L et non R.

Excusez-moi.

Donc :
L = aπr / 180, or l'énoncé considère que r = 1
L = aπ / 180

Et R = L / 2π
R = (aπ/180) / 2π
R = aπ / 2π180
R = aπ / [π(2* 180/π)]
R = a / (360/π)
R = aπ/360

Je ne suis pas sûr mais je pense que c'est correct.

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 00:05

Alors encore désolé ^^
Je viens de relire mes messages précédents et les égalités pour calculer R (celles faites avec LaTeX) étaient bien pour calculer R, mais ce n'est pas grave car elles ne marchaient pas et que je les ai abandonnées.

Je crois que je ferai mieux d'aller me coucher ^^

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 00:51

Voici ce que j'ai préparé si j'ai raison à la première question, je pense que le raisonnement est bon.


2. Exprimer h en fonction de R, puis en fonction de α.

Un cône est une révolution d'un triangle rectangle dont l'hypothénuse est une génératrice du cône (AB ou AC ici) et dont l'angle droit est formé par le rayon R et la hauteur h.

On a donc : AB² = h² + R²
h² = AB² - R²
h = √(AB²-R²), or AB = 1
h = √(1-R²), ce qui est possible car AB est l'hypothénuse de ce triangle, et donc AB = 1 > R.

Or R = απ/360
Donc h = √[1 - (απ/360)²].


J'aimerais savoir si mon raisonnement est bon et si je n'ai pas fait d'erreur de calcul.

Merci d'avance.
Léo.

Posté par
veledare : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 12:20

bnjour,
pour  R je trouve\frac{\alpha}{360}si\alpha est en degrés
2) ta formule donnant h² est exacte

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 15:27

Ah oui on ne peut utiliser 180 et 360 que si a est en degrés.
Mais alors si je considère que a est en radians, je trouve ceci (ce que je trouve plus simple) :

L = απ/π

R = L/2π
R = (aπ/π)/2π
R = aπ/3π
R = α/2π

C'est correct ?

(je viens de le remarquer : ma première égalité signifierait que L = a, je trouve cela étrange, je crois m'être trompé :S)
(Mais pourtant, si tu trouves R = a/360 pour a en degrés, il est normal que je trouve R = a/2π pour a en radians)

2) Si ma formule donnant h² est exacte, cela veut dire que les deux formules donnant h (l'une en fonction de R et l'autre en fonction de a) sont aussi correctes ?

Je vais essayer de refaire les formules en considérant a en radians :

h = √(1-R²)
h = √[1 - (a/2π)²]
h = √(1 - α²/2π²)


Merci de me consacrer du temps
Léo.

Posté par
veledare : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 15:42

je ne vois pas de faute mais attention à l'écriture c'est\frac{a^2}{4\pi^2}

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 16:22

Ah d'accord, (2π)² = 2²π² alors.
Et ça ne pose pas de problème d'écrire que L = α ?

Pour ce qui est de la 3ème question, voilà ce que j'ai préparé :

3. En déduire V(α) (uniquement en fonction de α).

\Large V=\frac{\pi R^2h}{3}

\Large V(\alpha)=\frac{\pi\frac{\alpha^2}{4\pi^2}\times\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{4\pi^2}}}{3}

\Large V(\alpha)=\frac{\frac{\pi\alpha^2}{\pi(4\times\pi)}\times\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{4\pi^2}}}{3}

\Large \boxed{V(\alpha)=\frac{\frac{\alpha^2}{4\pi}\times\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{4\pi^2}}}{3}}

Je n'arrive pas à simplifier la racine carrée, j'ai essayé :

\Large \sqrt{1-\frac{\alpha^2}{4\pi^2}}=\sqrt{\frac{4\pi^2-\alpha^2}{4\pi^2}}

Mais je ne vois pas comment simplifier plus, et je trouve cette expression plus compliquée que l'originale.

Je me dis que ça ne devrait pas être gênant de laisser comme ceci car je vais devoir étudier la fonction V et tout ce qui est sous la racine est positif dans l'intervalle ]0 ; 2π[.

Ai-je fais des erreurs de calcul ?

Posté par
veledare : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 16:31

tu peux écrire
\sqrt\frac{4\pi^2-a^2}{4\pi^2}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{4\pi^2-a^2}

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 16:39

Ah oui ?
Peux-tu détailler un peu s'il te plait ?
Je ne suis toujours pas très à l'aise avec les racines carrées.

Posté par
veledare : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 16:45

si a et b sont positifs\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
ici b=4\pi^2=>\sqrt b=2\pi

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 17:50

Ah oui d'accord, merci.

Donc ma fonction V est celle-ci :

\Large V(\alpha)=\frac{\frac{\alpha^2}{8\pi}\times\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}{3}

Mais je me retrouve encore coincé à la 4. :

4. Étudier la fonction V sur l'intervalle ]0 ; 2π[ et tracer sa courbe.

Je dois donc calculer la dérivée de V(a).
Mais je ne sais pas comment dériver a²/8π.

Pour [√(4π²-a²)]' = -2a / 2√(4π²-a²)

Et, de même je ne sais pas comment dériver le numérateur divisé par la constante 3 :S

Comment faire ces 2 dérivations ?


PS : la courbe de V(a) ressemble à ceci :

Problème : patron d\'un cône sans base

Posté par
veledare : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 18:06

il me semble que tu a perdu un\pien route
je trouve
V(a)=\frac{1}{24\pi^2}a^2\sqrt{4\pi^2-a^2}=KU.W
K est la fraction en tête,U(a)=a² et VW(a) c'est la racine
V'(a)=K[U'W+UW')
la courbe semble correcte

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 18:58

Ah je n'avais pas pensé à séparer a de la fraction.
Et je n'avais pas non plus pensé à simplifier 8π² et 3.
(d'ailleurs j'avais effectivement perdu un π : c'est a²/8π² et non a²/8π)

K étant une constante, elle ne devrait pas disparaître dans la dérivée ?
J'imagine qu'il n'est pas gênant de la laisser, pour calculer le signe de V', mais est-ce

Alors j'ai :

V(a) = k * u * w
   k = 1/24π²
   u = a²
   w = √(t) où t = 4π²-a²

     u' = 2a
     w' = (√4π²-a²)' = -2 / 2√(4π²-a²)

V'(a) = k * [ 2a*√(4π²-a²) + a²(-2a/2√(4π²-a²))]
V'(a) = k * [ 2a*√(4π²-a²) 2a^3/2√(4π²-a²))]

  k = 1/24π² > 0 ∀aϵ]0;2π[
  2a > 0 ∀aϵ]0;2π[
  √(4π²-a²) > 0 ∀aϵ]0;2π[

    -2a^3 > 0 ⇔ a^3 > 2 ⇔ a > racinecubique(2)
    le dénominateur est > 0 ∀aϵ]0;2π[

Le problème est que quand je fais le tableau de signes, je trouve que V(x) est décroissante en ]0 ; racinecubique(2)[ et croissante en ]racinecubique(2) ; 2π[.

Or sur la courbe on voit bien que c'est faux :/

Posté par
veledare : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 21:37

désolée de revenir si tard
tu as fait une erreur en calculant W'
W'=\frac{-a}{\sqrt{4\pi^2-a^2}}
et pour la dérivée je trouveKa\frac{8\pi^2-3a^2}{\sqrt{4\pi^2-a^2}}sur ]0;2\pi[ elle s'annule pour a=2\pi\sqrt{\frac{2}{3}} ce qui correspond bien à la valeur pour laquelle Vest maximun d'aprés ta courbe

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 18-09-11 à 22:15

Ce n'est pas grave, le DM est pour mardi, je le terminerai demain.
Je te tiendrai au courant de mon avancée.

Merci.
Léo.

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 19-09-11 à 22:49

Trop de devoirs et DM reporté à jeudi, je le terminerai mercredi (demain journée très chargée).

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 21-09-11 à 12:26

Donc j'ai réussi à trouver \normalsize \frac{1}{24\pi^2}\alpha(\frac{8\pi^2-3\alpha^2}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}})

Et en calculant les racines de \normalsize 8\pi^2-3\alpha^2 j'ai aussi réussi à trouver [tex]\alpha_1=2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}{/tex]

Ce n'était pas dur à trouver mais j'avoue que si je n'avais pas su qu'on pouvait simplifier autant cette racine je serai resté à [tex]\small x_1=\pi\frac{\sqrt{96]}{6}{/tex].

Par contre je n'arrive plus à avoir la courbe de V(a) sur ma calculatrice, ni sur l'ordi... et donc plus de valeurs pour la tracer sur feuille...
Je ne comprends vraiment pas j'ai essayé plusieurs formes de V(a) sans succès, j'ai une courbe sur presque le même domaine de définition et avec à peu près la même allure, mais en beaucoup plus "plate".

Il y a une erreur ? :
((x²)/(24π²))*sqrt(4π²-x²)

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 21-09-11 à 12:28

(premier tex loupé :  \alpha_1=2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}
deuxième tex loupé : x_1=\pi\frac{\sqrt{96}}{6})

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 21-09-11 à 17:49

Bon apparemment l'erreur venait de ma première courbe où π n'était pas au carré, ce qui faisait que j'avais une courbe beaucoup plus "haute".
Donc bah la courbe plate est finalement la bonne apparemment puisqu'elle utilise la bonne formule.

J'ai donc étudié V(a), tracé sa courbe, trouvé a tel que V(a) est au maximum.
Maintenant je dois calculer V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}) et je trouve ça :

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}}{24\pi^2}\times\sqrt{4\pi^2-(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})^2}

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}}{24\pi^2}\times\sqrt{4\pi^2-4\pi^2\times\frac{2}{3}}

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}}{24\pi^2}\times\sqrt{\frac{12\pi^2-8\pi^2}{3}}

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}}{24\pi^2}\times\sqrt{\frac{4\pi^2}{3}}

(Là je tente de simplifier encore plus)

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}}{24\pi^2}\times2\pi\sqrt{\frac{1}{3}}

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{4\pi^2\sqrt{\frac{2}{9}}}{24\pi^2}

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{\pi^2\sqrt{\frac{2}{9}}}{6\pi^2}

J'aimerais savoir si je n'ai pas fait d'erreur de calcul.

Et aussi est-ce que je peux faire ça ? :

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{2}{9}}}

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 21-09-11 à 17:51

Peut-être même que :

V(2\pi\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{\sqrt{2}}{18} ?

Posté par
Seeven7re : Problème : patron d'un cône sans base 21-09-11 à 21:08

J'ai regardé à la calculette et c'est bon.
DM fini.

Merci de m'avoir aidé.
Léo.

Posté par
veledare : Problème : patron d'un cône sans base 21-09-11 à 21:14

je viens juste de retrouver ma connexion internet défaillante depuis des heures
c'est bien si tu as terminé


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