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Problème Probabilité
Bonjour à tous j'aurais besoin d'un peu de votre temps pour ce problème un peu compliqué , merci d'avance
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le n-iemesondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L'évènement : « le n-ieme sondage est positif » est noté Vn , on note Pn la probabilité de l'évènement Vn
L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
• si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d'être aussi positif ;
• si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d'être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire P1=1
1) Calculer les probabilités des évènements suivants :
a) A : « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;
b) B : « les 2e et 3e sondages sont négatifs ».
2) Calculer la probabilité P3 pour que le 3e sondage soit positif.
3) Compléter l'arbre ci dessous , ou n est un entier supérieur ou égual a 2 (photo)
4) Pour tout entier naturel n non nul , établir que Pn+1 = 0,5 Pn + 0,1
5) On note u la suite définie, pour tout entier naturel n non nul par : Un= Pn-0,2
a) Démontrer que u est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
b) Exprimer Pn en fonction de n.
c) Calculer la limite , quand n tend vers +infini , de la probabilité Pn
Ok pour la première question j'ai trouvé P(A)=0,36 car si on suppose que le premier sondage est positif , P1=1 , on a P2= P(V2) =0,6 et Pv2(V3)=0,6 donc P(A)= P(V2interV3)
= P(V2) * Pv2(V3)=0,6*0,6=0,36
J'ai aussi trouvé le B je pense , l'évènement B étant Vbarre2 inter Vbarre3 donc
P(Vbarre2 inter Vbarre3)= P( Vbarre2 ) * P (Vbarre3) sachant Vbarre2
= 0,4*0,6=0,36
P(B)= 0,36
J'ai trouvé la 2) je pense
P3= P(V3)= P( V3 inter V2) + P( V3 inter Vbarre2)
Or P( V3 inter Vbarre2)= P( Vbarre2) * P( V3) sachant Vbarre2 = 0,4 * (1-0,9) = 0,4*0,1= 0,04
P3= 0,36 + 0,04 = 0,4
Si vous pouviez corriger mes erreurs s'il vous plaît
bonjour
p(A)=0.6*0.6=0.36 d'accord
p(B) = 0.4*0.9 =0.36 --- 0.9, pas 0.6
2) ok
3) complète à l'aide des données de l'énoncé, comme tu l'as sans doute fait pour les premiers événements : les probas conditionnelles sont les mêmes.
4) utilise l'arbre du 3)
3) photo
4) D'après la formule des probabilités totales soit n un entier naturel non nul
Pn+1= P(Vn+1)= P(Vn inter Vn+1) + P( Vnbarre inter Vn+1 ) = P(Vn)* P(Vn+1) sachant Vn + P(Vnbarre) * P( Vn+1) sachant Vnbarre = 0,6 Pn + 0,1 (1-Pn)= 0,6 Pn + 0,1 - 0,1 Pn = 0,5 Pn + 0,1
5)
A) Un+1 = Pn+1 -0,2 = 0,5 Pn + 0,1 -0,2 = 0,5 Pn-0,1 = 0,5(Pn-0,2)=0,5 Un
Donc Un est une suite géométrique de raison q=0,5 et de premier terme U1=P1-0,2=0,8
5)
B) Un= U1* q**n-1 = 0,8 *(0,5)**n-1
Un= Pn - 0,2 <=> Pn= Un + 0,2
Donc Pn= 0,8 * (0,5)**n-1 + 0,2
tu t'en sors très bien ! 
5b) utilise la formule explicite d'une suite géométrique donnée dans le cours - pour la suite U(n),
puis déduis-en Pn = ... en fonction de n
5c) limite de Pn lorsque n tend vers l'infini
Ok merci enfin pour c) on sait que que Un est une suite géométrique de raison à=0,5 et de première terme u1= 0,8 donc lim(n-> + infini ) Un = lim( n-> + infini) 0,8 * (0,5)**n-1=0
On en déduit donc que lim ( n-> + infini) Pn= 0,2
c) oui, la limite d'une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1, est 0.
d'où Pn= 0,8 * (0,5)^(n-1) + 0,2 tend vers 0.2
bonne continuation
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