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Problème probabilité conditionnelle
Bonjour à tous, je sèche sur un problème;
Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte. Quelle est la probabilité que la carte tirée soit un 8 sachant que
cette carte est strictement comprise entre 5 et 10
Ces événements sont-ils indépendants ?
P(A) représente la chance de tomber sur un huit.
P(A) = 4/52
P(B) représente la chance de tomber sur une carte comprise entre 5 et 10 (je présume [5;10])
P(B)= P(5) +P(6)+P(7)+...P(10) = (4/52) * 6 = 6/13
P(A
B)= Probabilité de tomber sur un 8 parmis le 24 cartes comprises entre 5 et 10 P(A
B)= 4/24 =1/6On cherche P(A|B)= P(A
B) / P(B)P(A|B) = (1/6)/(6/13) = 13/36
Pour l'indépendance
P(A
B) = P(A)*P(B)P(A
B) = 4/52 *6/13 = 6/169Probabilité de tomber sur un 8 parmis le 24 cartes comprises entre 5 et 10
P(A
B)= 4/24 =1/6Puisque les valeurs sont différentes, les éléments sont dépendants.
Uniquement une carte est tirée aléatoirement parmi 52.
Mais par contre, si je comprends bien, piocher un 8 parmi les 4 familles qui comprennent les cartes de [5;10]. Il y a 4 huit parmi / 24(6*4) cartes comprisent entre 5 et 10
P(AB)= 4/24 soit 1/6
Une question peut-être idiote de ma part...
Pour parler de probabilité conditionnelle, il faut que deux événements aient lieu. Or, on ne tire qu'une carte ?
La question me fait penser au cheval blanc d'Henri IV...
j'aurais plutôt vu :
Événement A : on tire un certain nombre de cartes. Quelle est la proba de tirer que des cartes de valeur entre 5 à 10 ?
Événement B : on tire une carte de ces cartes. Quelle est la proba de tirer un 8 ?
En classe on travaille en se basant sur l'élément "en sachant que" = P(B)
Donc P(A|B) = P(A" alt="
" class="tex" />B)/P(B)
A : "tomber sur un 8"
P(A) = 4/52 = 1/13
B : "tomber sur une carte entre 5 et 10 inclus"
P(B) = 4*6/52 = 6/13
A ∩ B : "tomber sur un 8 parmi les 24 cartes comprises entre 5 et 10 inclus"
P(A ∩ B) = 4/24 =1/6
! C'est la définition de A sachant B que tu donnes là...
A ∩ B : "tomber sur un 8 ET tomber sur une carte comprises entre 5 et 10 inclus"
Donc A ∩ B = A et donc P(A ∩ B) = P(A) = 1/13
Au passage, la démonstration de la dépendance est triviale. A inclus dans B entraîne :
P(A ∩ B) = P(A) ≠ P(A).P(B) car : P(B) = 6/13 ≠ 1
Donc il n'y a pas indépendance entre A et B.
On cherche P(A|B) = P(A
B) / P(B)
P(A|B) = (1/6)/(6/13) = 13/36
1ère méthode : P(A/B) = P(8 sachant 5 à 10) = 4/24 = 1/6
2ème méthode : P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = P(A)/P(B) = (1/13)/(6/13) = 1/6
Une question peut-être idiote de ma part...
Pour parler de probabilité conditionnelle, il faut que deux événements aient lieu. Or, on ne tire qu'une carte ?
.
Chaque carte tirable représente une issue possible.
Tu peux définir une multitude d'événements qui sont des ensembles d'issues (ou des parties de l'univers Omega si tu préfères)...
Autre exemple encore plus simple : tu lances un dé équilibré...
A : tirer un nombre pair.
B : tirer un nombre au moins égal à 3.
P(A) = 3/6 = 1/2
P(B) = 4/6 = 2/3
P(A et B) = P(4 ou 6) = 2/6 = 1/3 = P(A) * P(B)
Donc A et B indépendants.
P(A ∩ B) = 4/24 =1/6
! C'est la définition de A sachant B que tu donnes là...
A ∩ B : "tomber sur un 8 ET tomber sur une carte comprises entre 5 et 10 inclus"
Donc A ∩ B = A et donc P(A ∩ B) = P(A) = 1/13
Au passage, la démonstration de la dépendance est triviale. A inclus dans B entraîne :
P(A ∩ B) = P(A) ≠ P(A).P(B) car : P(B) = 6/13 ≠ 1
Donc il n'y a pas indépendance entre A et B.
1/6[/bleu]
La chance de tomber sur un 8 P(A) et une carte comprise [5;10] P(B). Est égale à P(A), car P(B) est forcément vérifier si on tombe sur l'événement A? Car on 8 est forcément compris entre 5 et 10, c'est ça?
La probabilité de tomber sur un 8 (A) et une carte comprise [5;10] (B)
... est égale à P(A), car B est forcément vérifié si A se réalise...
Dans ta formulation, fais attention à ne pas mélanger événement et probabilité de l'événement.
Car on 8 est forcément compris entre 5 et 10, c'est ça ?
A est inclus dans B.
J'ai un exo différent mais du même style.
Soit deux dé lancés successivement. Quelle est la probabilité d'avoir une somme de résultats strictement supérieure à 10
a) si le point obtenu au deux jets est 6?
b)si le point obtenu au deuxième jet est 6?
c) si le point obtenu du premier jet est de 3?
c)
Soit l'événement A es égale à avoir une somme >10
P(A)= P(5;6)+P(6-5)+P(6-6) = 1/36+1/36+1/36= 1/12
a) B est égale à la probabilité de tomber sur deux 6 consécutivement
P(B)=1/36
P(A
B) est forcément vérifié par P(B) car avec deux six, on obtient toujours une somme supérieure à 10
Donc P(A
B)= P(B)
P(A|B)= P(A
B)/P(B) soit P(A/B)=P(B)/P(B) =1 y'a un truc qui cloche!
b)B signifie tomber sur un 6 au deuxième jet
P(B)= 1/6
P(A
B) = signifie tomber sur un 5 ou 6 au 1er jet. (pour une somme >10)
P(A
B)= 1/6+1/6=1/3
P(A|B)= (1/3)/(1/6) = 2??? soit 200% de tomber dessus!
c)
A : la somme des deux dés est > 10 A = {56, 65, 66}
Méthode 1 :
B : 6 aux 2 jets B = {66} P(A/B) = 1/1 = 1
B : 6 au 2ème jet B = {16, 26, 36, 46, 56, 66} P(A/B) = 2/6 = 1/3
B : 3 au 1er jet B = {31, 32, 33, 34, 35, 36} P(A/B) = 0/6 = 0
Méthode 2 :
B : 6 aux 2 jets P(A/B) = P(A et B)/P(B) = P(B)/P(B) = 1
B : 6 au 2ème jet P(A/B) = P(A et B)/P(B) = (2/36) / (1/6) = 2/6 = 1/3
B : 3 au 1er jet P(A/B) = P(A et B)/P(B) = 0 / (1/6) = 0
Merci Le Dino!
Cela dit j'ai un problème. Je ne comprends pas trop la corrélation entre les deux méthodes. Comment est déterminé P(A
B), quand A vérifie B.
En fait, je me force à employer mes formules plutot que le bon sens....
Cela dit j'ai un problème. Je ne comprends pas trop la corrélation entre les deux méthodes.
Comment est déterminé P(A∩B), quand A vérifie B
A : somme > 10
B : 6+6
Si A est vraie, B l'est aussi. Donc B vérifie A. Autrement dit : B inclus dans A.
Par le calcul :
A∩B = B
Donc P(A et B) = P(B)
Donc P(A/B) = P(A et B)/P(B) = P(B)/P(B) = 1
Par dénombrement (ou "bon sens" si tu préfères) :
Puisque B est certain quand A est réalisé... alors P(B sachant A) = 1
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