Bonjour,

Tu te trompes dans l'énoncé des propriétés Pn. Tu ne peux pas écrire Pn : « La suite (Un) est croissante » puis "Supposons que Pn est vraie" --> là tu supposes le résultat final !

La propriété P que tu veux prouver est P : "La suite (un) est croissante"
Autrement dit tu veux prouver P : " Pour tout entier n, "
Pour cela, tu coupes en morceaux en posant Pn : "" : là, Pn est une propriété 'à n fixé', qui dépend de n :
P0 est "u1>u0" , P1 est "u2>u1", P2 est "u3>u2", ... etc
Pour montrer P, tu dois donc montrer que les Pn sont toutes vraies.

Récurrence :
- P0 est vraie, car u1=6>u0=4.
- On suppose que la propriété Pk est vraie (autrement dit, on suppose qu'au rang k, on a ). On montre que dans ce cas, P(k+1) est vraie aussi (c'est-à-dire que - c'est un calcul, je te laisse le faire, dis si tu as un pb)

Alors on conclut ainsi :
P0 est vraie.
Par hérédité, P0 vraie => P1 vraie, donc P(1) est vraie aussi
P1 vraie => P2 vraie
etc,
Toutes les propriétés Pn sont vraies, et la suite est bien croissante.

En faite, Je met P, puis Pk pour l'hérédité et enfin Pn pour la conclusion... ok ^^ Mais je bloque un peu comme meme... :



* P: « La suite (Un) est croissante »
* Po < P1 est vraie car U0=4 et U1 = 6 et 4<6
* K est un entier naturel. Supposons que Pk soit vraie, c'est à dire que U(k+1)> Uk.

Mais la comment je fais ? tu me dis de faire le calcul ok... mais mon prof nous as fait comprendre qu'il ne fallait par remplacer l'inconnu par un chiffre car il fallait montrer la propriété en générale... et pas pour un cas précis... Il faudrait faire cela ? :

U(k+1) = (1/4)Uk + 5
U(k+2) = (1/4)U(k+1) + 5
       = (1/4)*((1/4)Uk + 5) + 5
       = (1/16)Uk +(25/4)

(1/16)Uk +(25/4)>(1/4)Uk + 5 ? On dirait plutot l'inverse O.o
pour que P(k+1) soit vraie : P(k+1) : U(k+2)>U(k+1)

Pose f(x) = (1/4)x+5
On a
Prouve que f est strictement croissante sur [0;+inf[

Ensuite fait ton raisonnement par récurrence et pour l'hérédité tu utilise le fait que f est croissante :

Si alors cad

Supposons que U(k+1)> Uk
U(k+2) = (1/4)U(k+1) + 5
On utilise l'hypothèse U(k+1)>Uk : donc U(k+2) = (1/4)U(k+1)+5 > (1/4)Uk+5 = U(k+1)

J'ai pas mal réfléchie sur le sujet... Je n'aime pas beaucoup utiliser les fonctions ici...et critou, je ne comprends pas ton hypothèse O.o
J'ai fait cela :

P : « La suite (Un) est croissante »
Po =< P1 est vraie car U0=4 et U1 = 6 et 4<6
Soit k un entier naturel. Supposons que Pk est vraie, donc que U(k+1)> Uk

U(k+2) - U(k+1) = (1/4)*((1/4)Uk + 5) + 5 - (1/4)Uk - 5
= 1/16 Uk + 5/4 - 1/4 Uk
= -3/16 Uk + 5/4
Le résultat s'annule quand Uk = 20/3
Donc U(k+2) - U(k+1)> 0 quand Uk < 20/3

Et la je ne sais pas comment finir... ma suite est majorée par 7 alors j'ai envie de dire que 20/3 c'est a peu prés comme 7 donc qu'elle est croissante enfin je ne sais pas trop...