a/h + h/a = (a²+h²)/ah = ((a-h)²+2ah)/ah=2+((a-h)²/2)
et comme (a-h)² >= 0 (à cause du carré) ->
a/h + h/a >= 2

de manière analogue on montre que:
b/g + g/b >= 2
c/f + f/c >= 2
d/e + e/d >= 2

On ajoute les 4 inégalités membre à membre, et on a:
a/h + h/a + b/g + g/b + c/f + f/c + d/e + e/d >= 8
En changeant les termes de place, on a:
a/h +b/g +c/f +d/e +e/d +f/c +g/b +h/a >= 8
-----
Sauf distraction.