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Problème sur les limites.

Posté par
matheux14
27-08-20 à 23:05

Bonsoir ,

Merci d'avance.

On donne une droite (D) munie d'un repère (O;\vec{i}).

Un point M se déplace sur cette droite et sa position en fonction du temps t (en secondes) , est définie par son abscisse x(t) (en mètres).

La vitesse instantanée du point M à la date t_{0} est la limite en 0 de la fonction h \mapsto \dfrac{x(t_{0}+h)-x(t_{0})}{h}.

Sachant que x(t)=t²+t+1 , déterminer la vitesse instantanée du point M à la date 4.

Réponses

Alors j'ai calculé \lim_{x\to4}x(t)=4²+4+1=21.

La vitesse du point M à la date 4 est donc 21 m/s.

Posté par
Zormuche
re : Problème sur les limites. 27-08-20 à 23:09

Bonsoir

Il ne faut pas calculer la limite quand x tend vers 4, surtout que ça n'a pas de sens car il la variable est t

Il faut calculer la limite quand h tend vers 0 de  \dfrac{x(4+h)-x(4)}{h}

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 27-08-20 à 23:29

Ok , mais comment je peux faire pour simplifier ''h'' ?

Posté par
Zormuche
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 05:10

d'abord développe la forme que je t'ai montrée, la seule variable sera h, et tu pourras factoriser le numérateur par h pour trouver la limite

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 08:51

Ok ,

\dfrac{x(4+h)-x(4)}{h}=\dfrac{x(4)+h(x)-x(4)}{h}=\dfrac{h(\dfrac{x(4)}{h}+x-\dfrac{x(4)}{h})}{h}=\dfrac{x(4)}{h}+x-\dfrac{x(4)}{h}=x

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 10:34

Bonjour,

x(t) = t² + t + 1

x(to + h) = (to + h)² + to + h + 1 .

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 10:41

Ah d'accord , donc je calcule la limite lorsque t tend vers 4 ..

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 10:45

Oups lorsque h tend vers 4..

Posté par
malou Webmaster
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 10:47

Zormuche @ 27-08-2020 à 23:09

Bonsoir

Il ne faut pas calculer la limite quand x tend vers 4, surtout que ça n'a pas de sens car il la variable est t

Il faut calculer la limite quand h tend vers 0 de \dfrac{x(4+h)-x(4)}{h}

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 10:53

\dfrac{x(4+h)-x(4)}{h}=\dfrac{x(4)+h(x)-x(4)}{h}=\dfrac{h(\dfrac{x(4)}{h}+x-\dfrac{x(4)}{h})}{h}=\dfrac{x(4)}{h}+x-\dfrac{x(4)}{h}=x

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 12:17

Tu ne tiens pas compte de mon message de 10h34 . . .

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 12:26

x(t) = t² + t + 1

x(to + h) = (to + h)² + to + h + 1 .

\lim_{h\to4}(t_{0}+h)²+t_{0}+h+1=(t_{0}+4)²+t_{0}+5

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 12:44

Conformément à l'énoncé, c'est la limite de l'expression

[x(to + h) - x(to]/h

quand  h  tend vers  0  qu'il s'agit de calculer.

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 12:47

matheux14 @ 28-08-2020 à 10:53

\dfrac{x(4+h)-x(4)}{h}=\dfrac{x(4)+h(x)-x(4)}{h}=\dfrac{h(\dfrac{x(4)}{h}+x-\dfrac{x(4)}{h})}{h}=\dfrac{x(4)}{h}+x-\dfrac{x(4)}{h}=x

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 12:59

x(to + h) = . . . . en fonction de  to  (cf 12h26) ?

x(to) = . . . .  en fonction de  to  ?

Tu prends la différence des deux résultats et tu divises le tout par  h .

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 13:51

Je ne comprends pas..

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 14:28

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 14:41

Citation :
x(to + h) = . . . . en fonction de  to  (cf 12h26) ?

x(to) = . . . .  en fonction de  to  ?


Un peu bizarre car il n'y a rien à droite des égalités.

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 14:54

Pour la 1ère ligne, j'ai écrit ce qui manquait à 12h26.
Reste la 2ème ligne à écrire.

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 15:08

Ok

xto + xh= (to + h)² + to + h + 1 .

xto + xh =to²+2to h +h² +to +h +1

xto -2to h -to ²-to =h²+h - xh +1

to (x-2h-to-1)=h²+ h - xh +1

to =(h²+ h - xh +1)/(x-2h-to-1)

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 15:38

Il ne faut pas écrire  xto + xh .
En effet, l'expression  x(to + h) n'est pas un produit, mais une fonction (x) et sa variable (to + h) .
Ce qui te gêne peut-être, c'est que  x  représente habituellement une variable et non, comme ici, une fonction.
Si cela pouvait t'éclaircir les idées, écrit  x = f(t) = t² + t + 1  
et continue en remplaçant  x  par  f(t).

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 16:10

Ah ok , je vois maintenant...

On a donc x(t) = t² + t + 1.

x(to + h) = (to + h)² + to + h + 1

x( to + h ) =to² +2to h +h² +h +1

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 16:43

Oui.
Ensuite, x(to) = . . . ., puis l'expression dont on cherche la limite.

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 16:49

x(to)=to² + to +1  et [x(to + h) - x(to]/h

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 17:01

Oui.
Tu peux écrire maintenant l'expression et développer son numérateur.

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 17:13

\dfrac{x(t_{0}+h)-x(t_{0})}{h}=\dfrac{t_{0}² +2t_{0} h +h² +h +1-t_{0}² - t_{0} -1 }{h}=\dfrac{h(2t_{0}+h+1)-t_{0}}{h}=2t_{0}+h+1-\dfrac{t_{0}}{h}

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 18:01

En to , la vitesse est nulle ..

Donc \lim_{x\to4} 2t_{0} +h +1-\dfrac{t_{0}}{h}=0+4+1+0=5.

La vitesse instantanée au point M à la date 4 est donc 5 m/s.

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 19:17

1ère ligne de 17h13 : il manque un  + to  au numérateur.

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 21:13

Je ne vois pas bien ..

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 22:16

x(to+h) = (to + h)² + to + h + 1 .

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 22:26

Ah oui ,

Hormis cette erreur de frappe , est ce juste ?

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 28-08-20 à 22:31

Termine d'abord ton calcul après correction.

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 08:16

\dfrac{x(t_{0}+h)-x(t_{0})}{h}=\dfrac{t_{0}² +2t_{0} h +h²+ h +t_{0}  +1-t_{0}² - t_{0} -1 }{h}=\dfrac{h(2t_{0}+h+1)+t_{0}-t_{0}}{h}=2t_{0}+h+1

La vitesse en to étant nulle , \lim_{h\to4}2t_{0}+h+1=0+4+1=5

La vitesse instantanée à la date 4 est donc 5m/s.

Merci

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 09:19

La première ligne est juste, mais non la suivante.
En effet, il s'agit de faire tendre  h  non pas vers  4 , mais vers  0  (cf énoncé).

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 09:48

On a (to + h)² + to + h + 1 et x(to)=to² + to +1.

Donc h \mapsto \dfrac{(t_{0}+h)²+t_{0}+h+1-t_{0}²-t_{0}-1}{h}=\dfrac{t_{0}²+2t_{0}h+h²+t_{0}+h+1-t_{0}²-t_{0}-1}{h}=\dfrac{2t_{0}h+h²+h}{h}=\dfrac{h(2t_{0}+h+1)}{h}=2t_{0}+h+1

Où est l'erreur ?

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:27

Pas d'erreur.
Simplifie l'expression obtenue, puis fais tendre  h  vers  0 . Quelle est sa limite ?

Posté par
Pirho
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:27

Bonjour,

en attendant le retour de Priam, ta ligne est correcte mais après tu dois remplacer t0 par 4 et faire tendre h vers 0

Posté par
Pirho
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:30

Bonjour Priam;  sorry mais je n'avais pas vu que tu étais revenu!

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:30

\lim_{t_{0}\to 4}2t_{0}+h+1=h+5

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:31

Oups

matheux14 @ 29-08-2020 à 10:30

\lim_{t_{0}\to 4}2t_{0}+h+1=h+8

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:31

Reoups

matheux14 @ 29-08-2020 à 10:30

\lim_{t_{0}\to 4}2t_{0}+h+1=h+9

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:40

Il s'agit de la limite  quand  h  tend vers 0   (et non quand  to  tend vers 4).

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:43

Si h=0 , on arrive à 9.

La vitesse instantanée est donc 9m/s

Non ?

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:46

Oui (pour to = 4 secondes).

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 10:47

C'est fini ?

Posté par
Priam
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 11:19

Oui.

Posté par
matheux14
re : Problème sur les limites. 29-08-20 à 11:31

Merci



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