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Produit scalaire.

Posté par
LoliMurdoch 19-03-20 à 15:59

Bonjour, j'ai un exercice de math que j'aimerais faire corriger. Pouvez vous m'aider? 🤗

Schéma en fin de post - Énoncé - Questions - Réponses
udl = unité de longueur
.
.
.
EFGH est un rectangle où EF=6 udl et EH = 3 udl
M=m [FG]
K tel que \vec{HK}=\frac{1}{3}\vec{HG}
L est le projeté de K sur (EM)
Ne pas présenter de racines carrées de nombres décimaux => Utiliser des fractions

1. Déterminer les longueurs EK et EM

---> On cherche EK dans le triangle EHK rectangle H
On a EH = 3 udl et HK = 2 udl.
D'après le théorème de pythagore :
EK = \sqrt{EH^{2}+HK^{2}}= \sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13} udl

---> On cherche EM dans le triangle EMF rectangle F
On a FM = \frac{3}{2} udl et EF = 6 udl.
D'après le théorème de pythagore :
EM = \sqrt{FM^{2}+EF^{2}}= \sqrt{\frac{3}{2}^{2}+6^{2}}=\frac{3\sqrt{17}}{2} udl

2. Déterminer les produits scalaires \vec{EH}.\vec{FM},  \vec{HK}.\vec{EF},  \vec{EH}.\vec{EF}   et   \vec{HK}.\vec{FM}

--->\vec{EH}.\vec{FM} : (EH) et (FM) colinéaire de même sens.
Avec EH=3 udl et FM=\frac{3}{2} udl
\vec{EH}.\vec{FM} = EH*FM=3*\frac{3}{2}=\frac{9}{2} udl

---> \vec{HK}.\vec{EF} : (HK) et (EF) colinéaire de même sens.
Avec \vec{HK}=\frac{1}{3}\vec{HG} soit HK=2 udl et EF=6 udl
\vec{HK}.\vec{EF}=2*6=12 udl

---> \vec{EH}.\vec{EF} : Les droites (EH) et (EF) sont les vecteurs \vec{EH} et \vec{EF} sont donc orthogonaux.
\vec{EH}.\vec{EF} = 0 udl

---> \vec{HK}.\vec{FM} :
Je ne suis absolument pas sûr de ma réponse.
[HK]  à (HG) et [FM]  à (FG).
Les droites (HG) et (FG) sont donc les vecteurs \vec{HK} et \vec{FM} sont orthogonaux.
\vec{HK}.\vec{FM}=0 udl

3a. En décomposant astucieusement (utiliser les résultat de 1.), déterminer le produit scalaire \vec{EK}.\vec{EM}

\vec{EK} . \vec{EM}=(\vec{EH} + \vec{HK}) . (\vec{EF} + \vec{FM}) & \vec{EK} . \vec{EM}= \vec{EH} . \vec{EF} + \vec{EH} . \vec{FM} + \vec{HK} . \vec{EF} + \vec{HK} . \vec{FM} & \vec{EK} . \vec{EM}= 0 +\frac{9}{2} + 12 + 0 & \vec{EK} . \vec{EM}= \frac{33}{2}

3b. Grâce au précédent résultat en déduire la valeur de l'angle \hat{KEM} en degrés (arrondi à 10-2 près)

On cherche \hat{KEM}
On sait que \hat{KEM} = cos (\vec{EK},\vec{EM}) car le fonction cosinus est paires.
On connait : \vec{EK} . \vec{EM} = \frac{33}{2}  ,  EK = \sqrt{13} udl et EM = \frac{3\sqrt{17}}{2} udl
Alors :
EK . EM = EK \times EM \times cos (EK , EM) & \frac{33}{2} = \sqrt{13}\times \frac{3 \sqrt{17}}{2} \times cos (EK , EM) & cos (EK , EM) = \frac{33}{2} \times \frac{1}{\sqrt{13}}\times \frac{1}{\frac{3\sqrt{17}}{2}} cos (EK , EM) \simeq 42,27udl
.
.
.
Merci d'avance🤗

Produit scalaire.

Posté par
PLSVUre : Produit scalaire. 19-03-20 à 16:34

Bonjour,
OK pour tes calculs
sauf  la dernière égalite à revoir
EK . EM = EK \times EM \times cos (EK , EM) & \frac{33}{2} = \sqrt{13}\times \frac{3 \sqrt{17}}{2} \times cos (EK , EM) & cos (EK , EM) = \frac{33}{2} \times \frac{1}{\sqrt{13}}\times \frac{1}{\frac{3\sqrt{17}}{2}}  
0<cos(EK , EM)<1
   les cosinus n' ont pas d'unité .  (quotient de longueurs)
.et   pour terminer
arcos(EK , EM)=.......... s'exprime en degré ou en radian

.

Posté par
LoliMurdochre : Produit scalaire. 19-03-20 à 16:37

En degrés ?

Posté par
PLSVUre : Produit scalaire. 19-03-20 à 16:55

  les cosinus sont de nombres compris entre -1 et 1  
cos (EK , EM) = \dfrac{33}{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{13}}\times \dfrac{1}{\dfrac{3\sqrt{17}}{2}}  =\dfrac{11}{\sqrt{13}\times \sqrt{17}}  

  on te demande d'exprimer l'angle KEM en degré
\red{ arcos}(\dfrac{11}{\sqrt{13}\times \sqrt{17}})=..............°

  

Posté par
LoliMurdochre : Produit scalaire. 19-03-20 à 17:03

arcos (\frac{11}{\sqrt{13}\times \sqrt{17}})=42,27°

Posté par
PLSVUre : Produit scalaire. 19-03-20 à 17:06

OK

Posté par
LoliMurdochre : Produit scalaire. 19-03-20 à 17:07

Très bien, je vous remercie PLSVU bonne fin de journée à vous!🤗

Posté par
PLSVUre : Produit scalaire. 19-03-20 à 17:23

   A bientôt sur l'ile si nécessaire


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