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Produit scalaire

Posté par
Jam18
27-11-20 à 16:25

Bonjour à tous, je bloques a 2 questions sur les fonctions scalaires, voici la question avec l'énoncé :

Soit et deux vecteurs quelconques et vecteur AB et vecteur AC des représentants respectifs des vecteurs et .

1) Jusitifier que, quel que soit le réel a, on \left|cos\alpha \right| 1

2) En déduire que \left|u.v \right|\ll \left|\left|u \right| \right| \times \left|\left|v \right| \right|
Je n'arrives pas à résoudre la question 1 et 2. Pouvez-vous m'aider svp ? Merci beaucoup

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 16:35

Bonjour

Qu'est-ce qui vous gêne  ? Ce ne sont que des résultats du cours.

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 16:41

hekla
Je ne vois pas la propriété...  Je n'arrives pas à justifier  

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 16:52

Entre quelles valeurs est compris le cosinus d'un réel ?

voir Trigonométrie : enroulement de la droite des réels paragraphe 2

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 19:38

hekla
Le cosinus d'un réel est compris entre -1cos1
Cette phrase suffit pour la justification  ?

2) Pour la question 2 je ne vois pas, je pensais que v.u = v*u

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 20:14

donc  |\cos x|\leqslant 1 que voulez-vous dire d'autre ? Le redémontrer ?

Quelle est la définition du produit scalaire  ?   celle faisant intervenir les normes

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 20:19

hekla
le produit scalaire . =\left|u \right|*\left|v \right|*cos(u.v) mais comment démontrer que ceci est inférieur ou égal à \left|u \right| *\left|v \right|

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 20:35

N'a-t-on pas le droit de multiplier les deux membres d'une inégalité par un même réel strictement positif  ?

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 20:42

hekla
Je penses avoir la réponse mais vu comme ça... ( c'est un nouveau chapitre pour moi). Pouvez-vous me faire un exemple ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 20:49

\|\vec{u}\|\times \|\vec{u}\| est un réel positif  de même que |\vec{u}\cdot\vec{v}|

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 20:54

hekla
En quoi ça m'aide de savoir ça pour la question ? Je ne comprends pas trop.. Il ne peut pas être un réel négatif ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 20:55

une valeur absolue négative ce serait nouveau !

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 20:59

25|\cos x| \leqslant 25

on a bien multiplié les deux membres par un réel positif

Par quoi va-t-on multiplié  |\cos x| ?

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 21:39

hekla
On va le multiplier par * . Mais ensuite ? Je retorune sur mes pas, je dois justifier comment ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 22:01

Non on va multiplier par \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|

Qu'obtient-on alors dans le membre de gauche ?

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 22:11

hekla

Je ne comprends pas la formule c'est  :
. = \left|\left|\vec{u} \right| \right|\times \left|\left|\vec{v} \right|| \times cos(\vec{u}.\vec{v}).

Ce qu'on obtient dans membre de gauche ? il ne bouge pas c'est : .  non ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 22:18

On part de  |\cos x|\leqslant 1  ou

si vous préférez de |\cos(\vec{u},\vec{v})|\leqslant 1 puisque la relation est vraie pour tout x

on va multiplier par \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|

Quelle relation obtient-on  ? À quoi correspond le membre de gauche ?

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 22:24

hekla
. =  \left|\left|\vec{u} \right| \right|\times \left|\left|\vec{v} \right| \right|\times cos(x)

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 22:30

Oui mais comme on sait que |cos x|\leqslant 1  !

N'a-t-on pas ce que l'on veut  si l'on prend  |\vec{u} \cdot \vec{v}|

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 22:34

hekla
Comme on sait que Cos(x) est inférieur ou égal à 1 alors . est inférieur ou égal à 1 ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 22:49

Non ce n'est pas ce que l'on veut montrer  faites un peu attention

On part de   |\cos x|\leqslant 1  ou

de |\cos(\vec{u},\vec{v})|\leqslant 1



on a donc    \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\,|\cos(\vec{u},\vec{v})|\leqslant \|\vec{u}\||\vec{v}\|

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 22:52

hekla @ 27-11-2020 à 20:59

25|\cos x| \leqslant 25

on a bien multiplié les deux membres par un réel positif

Par quoi va-t-on multiplié  |\cos x| ?


J'ai pas bien compris, pourquoi on passe de -1cosx1
C'est quoi les 2 membres ? Le produit scalaire . ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 23:05

Si vous avez |x| <1  c'est bien équivalent à  -1<x<1  ça marche dans les deux sens

c'est bien ce que l'on a,  remplacez x par |\cos(\vec{u},\vec{v})| si vous voulez

On sait que    |\vec{u} \cdot \vec{v}| =\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\,|\cos(\vec{u},\vec{v}) |

  et on veut montrer que |\vec{u} \cdot \vec{v}|\leqslant  \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|

La question précédente  donne une inégalité

en multipliant cette inégalité par  le produit des normes  qui est bien un réel positif
  on obtient bien ce que l'on veut

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 23:14

20:59  correction écrire : multiplier

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 23:23

hekla
Je suis désolé mais je ne comprends toujours pas. Si x est supérieur à 1 ça change quoi ? A quoi ça me sert de remplacer x si je n'ai pas les autres valeurs ? La précédente valeur donne une inégalité, mais pourquoi avoir mit -25x25 alors que c'est -1x1 ?
Je n'arrives pas à remplacer x par cos... ça fait cos(1) non ?

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 27-11-20 à 23:24

J'ai mal mit le sens des signes mais ça c'est compris

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 27-11-20 à 23:47

Que c'est faux car un cosinus est toujours compris entre -1 et 1 par conséquent la valeur absolue entre 0 et 1. Il n'y a rien à remplacer.

On a une inégalité à prouver. On commence par vous aider en vous demandant un encadrement de cosinus. Cela pour vous faire penser à la définition du produit scalaire  avec les normes.

On a bien le droit de multiplier les deux membres d'une inégalité par un réel strictement positif
  j'ai pris 25 comme exemple  j'aurais très bien pu prendre n'importe quel réel strictement positif.

Il y en a un justement qui est intéressant  c'est le produit des normes \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|

de l'inégalité de départ  |\cos(\vec{u},\vec{v})| \leqslant 1  on va multiplier les deux membres par ce réel positif


on obtient donc      \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\times |\cos(\vec{u},\vec{v})| \leqslant  \|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \times 1

Mais   \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\times |\cos(\vec{u},\vec{v})| n'est-ce pas  la définition de |\vec{u} \cdot \vec{v}|  ?

On va donc pouvoir  remplacer le premier membre par  |\vec{u} \cdot \vec{v}|  et je vous laisse conclure

Je reviendrai samedi après-midi
  

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 28-11-20 à 11:06

hekla @ 27-11-2020 à 23:47

Que c'est faux car un cosinus est toujours compris entre -1 et 1 par conséquent la valeur absolue entre 0 et 1. Il n'y a rien à remplacer.

On a une inégalité à prouver. On commence par vous aider en vous demandant un encadrement de cosinus. Cela pour vous faire penser à la définition du produit scalaire  avec les normes.

On a bien le droit de multiplier les deux membres d'une inégalité par un réel strictement positif
  j'ai pris 25 comme exemple  j'aurais très bien pu prendre n'importe quel réel strictement positif.


  


Je comprends pas, on a pas dit un cosinus est toujours compris entre -1 et 1  ? Si on le mutiplie c'est pas bon ( vous l'avez multiplié par ? L'encadrement c'est -1 et 1 non ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 28-11-20 à 12:33

On a bien  -1\leqslant \cos x \leqslant 1   ce qui signifie aussi que  \vert\cos x\vert \leqslant 1

dans le second cas le cos est entre les barres de valeurs absolues

 \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|  est un réel strictement positif   donc on peut multiplier les deux membres de cette inégalité par ce nombre

On obtient donc

\underbrace{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \vert\cos x\vert}_{|\vec{u} \cdot \vec{v}|} \leqslant \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\times 1

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 28-11-20 à 13:44

hekla
D'accord je comprends mieux. Une question, quelle est la différence entre \left|cos x \right|1 et -1cos x 1 ?
Pour le membre de droite on multiplie par 1 car cos(0) ( vu que l'angle est de 0°) = 1 c'est bien ça ? ça revient finalement à \left|\left|\vec{u} \right| \right|\times \left|\left|\vec{v} \right| \right|

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 28-11-20 à 13:53

Aucune différence les deux sont équivalentes

À droite il faut bien aussi multiplier par le même nombre  Comme il y avait 1   on a donc multiplier icelui par le même  réel qu'à gauche  c'est-à-dire \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|

et  1\times ( \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|) = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|

Peu nous chaut ici que \cos 0=1

1  provient de l'encadrement de \cos

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 28-11-20 à 14:31

hekla
Je ne comprends pas pourquoi on multiplie par 1, au début on a :
\left|\left|\vec{u}.\vec{v} \right| \right| \ll \left|\left|\vec{u} \right| \right|\times \left|\left|\ddot{v} \right| \right|
Pourquoi et quoi mutiplier par 1 ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 28-11-20 à 14:37

1 est élément neutre   multiplier par 1 cela ne change rien  

Non au début on n'a pas cela  puisque cela doit être la conclusion  ce que l'on vous demande de démontrer

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 28-11-20 à 14:51

hekla
D'accord, donc si je résumes,

1) le cosinus d'un réel est compris entre -1 cos 1

2) et pour cette question je traduis \left|\left|\vec{u}.\vec{v} \right| \right|

\underbrace{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \vert\cos x\vert}_{|\vec{u} \cdot \vec{v}|} \leqslant \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\times 1

C'est bien ça ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 28-11-20 à 15:22

Question 1

-1\leqslant  \cos\alpha \leqslant 1 ce sont des résultats de cours

  c'est aussi équivalent à \vert \cos \alpha \vert 1 Pour tout  \alpha\in \R

Question 2  Prenons pour  \alpha :  (\vec{u},\vec{v})  on a donc bien  

\vert \cos (\vec{u},\vec{v}) \vert \leqslant  1

Multiplions les deux membres de l'inégalité par \|\vec{u}\|\|\vec{v}\| réel strictement positif

\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \vert \cos (\vec{u},\vec{v}) \vert \leqslant \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\times  1

ou \|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \vert \cos (\vec{u},\vec{v}) \vert \leqslant \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|

Or par définition du produit scalaire

\vec{u}\cdot \vec{v}=  \| \vec{u}\|\,\|\vec{v}\| \cos (\vec{u},\vec{v})

En prenant la valeur absolue on a

\vert\vec{u}\cdot \vec{v} \vert=  \| \vec{u}\|\,\|\vec{v}\| \,\vert \cos (\vec{u},\vec{v})\vert

Il en résulte  \vert \vec{u}\cdot \vec{v} \vert \leqslant \| \vec{u}\|\,\|\vec{v}\|

Q.E.D.

Posté par
Jam18
re : Produit scalaire 28-11-20 à 16:03

hekla
D'accord je vous remercie beaucoup, mais si je veux démontrer que :
|\left|\vec{u}+\vec{v} \right|| \leq \left|\left|\vec{u} \right| \right| +\left|\left|\vec{v} \right| \right|

Comment faire ?

Posté par
hekla
re : Produit scalaire 28-11-20 à 16:15

Rien  cela fait partie de la définition d'une norme

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