Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

Produit Scalaire

Posté par Chop Suey (invité) 27-03-04 à 20:33

Bonjour voila 2 exos pour s'entrainer mais j'ai bocoup
de mal donc merci de m'aider .
1er Exo :
Le plan est rapporté au repère orthogonal (O;i;j). On considère les
pts A(1;1) et B(4;-2).
Le pt M a pour coordonnées (x;y).
1) Exprimer les coordonnées des vecteurs 2MA - MB et MA - 2MB en fonction
de x et y.
2) Déterminer l'équation de l'ensemble des pts M qui vérifient
||2MA - MB|| = ||MA - 2MB||.
3) Exprimer le vecteur 2MA - MB en fonction du vecteur MG, où G désigne
le barycentre de {A(2) ; B(-1)}. Exprimer le vecteur MA - 2MB en
fonction du vecteur MG', où G' désigne le barycentre de
{A(1) ; B(-2)}.
Retrouver l'ensemble de pts obtenu dans la question 2). Représentez cet
ensemble.  

2e Exo :
[AB] est un segment de longueur a. I est le milieu de [AB].
1) Montrer que pour tout point M du plan, MA.MB = MI² - IA².
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan qui
vérifient : MA.MB = 0.

Je vous remercie vraiment.

Posté par Nil (invité)re : Produit Scalaire 27-03-04 à 21:58

Salut,

1) pour calculer les coordonnées des vecteurs 2MA - MB, rien de bien
compliqué, calcul tout dabord MA et MB

MA ( 1 - x ; 1 - y )   MB ( 4 -x , - 2 -y)

2MA - MB  |   2*( 1 - x ) - (4 - x)
                  |
                  |   2*( 1 - y ) - (2 - y)


d'une maniere générale, pour tout vecteur u ( x , y ) et tout reel k,
le vecteur ku à pour coordonnés ku (kx , ky).
Lorsque l'on additionne deux vecteurs, on additionne aussi leur coordonnés.

Voila maintenant il ne reste qu'a faire de meme pour le vecteur MA
- 2MB


2)

tu as  M appartient à l'ensemble (E) si et seulement si
|| 2MA - MB || = ||MA - 2MB||  

s'agissant de longueurs, tu peut donc dire que la proposition précédente est
équivalente à

|| 2MA - MB ||² = ||MA - 2MB||²

Tu as un théoréme du cours qui te donne la norme d'un vecteur dans
un repere orthornormal :

Pour tout vecteur u de coordonées x et y
|| u || = Racine(x²+y²)

il en découle que :

|| u || ² = x² +y²

maintenant que tu sais cela, tu dois pouvoir conclure et transformer cette expression
|| 2MA - MB ||² = ||MA - 2MB||² en utilisant les coordonées des vecteurs
(2MA - MB) et (MA - 2MB) calculées ci dessus.
Apres simplification tu trouveras une équation (cercle ou droite) qui représente
l'ensemble.


3) En utilisant le barycentre c'est encore plus simple

G barycentre de A(2) B(-1)
<=> 2MA - 1MB = 1MG (ce sont des vecteurs) pour tout point M du plan

G' barycentre A(1) B(-2)
<=> 1MA - 2MB = - MG'


sachant cela,

|| 2MA - MB || = || MA - 2 MB || équivaut à :
|| MG || = || - MG'||
MG = MG'

calcule ensuite les coordonnées de G et G'
puis deduis en les coordonnées des vecteurs MG et MG'

à l'aide de la propriété permetant de calculer la norme d'un
vecteur dans un repere orthonormé (ennoncée plus haut)
tu sera en mesure de transformer l'expression

MG = MG'

et donc de retrouver le resultat analytique précédent.

Voila pour ce qui est du premier exercice
                

Posté par Nil (invité)re : Produit Scalaire 27-03-04 à 22:17

Passons maintenant au second exercice , je vais seulement te donner
qq indications pour commencer :

Pour la question 1)

utilise la relation de Chasles pour décomposer MA.MB
en (MI+IA) . (MI + IB)

développe ça.
Il te faut savoir plusieurs choses, par exemple, je pense que tu sais
que le carré scalaire d'un vecteur est egale à sa norme au carré.

pense également à utiliser le fait que I soit le milieu de AB , de cela
découle la relation Vecteur IB + Vecteur IA = vecteur nul.


2) MA . MB = 0 équivaut à
    vecteur MA orthogonal à vecteur MB.

Place les deux points à et B sur ta feuille et demandes toi pour quels
points M on à cette relation.

voila , j'espere que cela t'aidera

Posté par Samantha (invité)re : Produit Scalaire 27-03-04 à 22:36

En ayant bavé moi aussi avec le produit scalaire je vais essayer
de t'aider mais les résultats sont 100% non scientifiques, alors
à toi après de reprendre ce que g fait avec ton cours ou ton bouquin.

1) MA.MB=MI°2-IA°2
     MA.MB=(MA+AI)°2-IA°2
     MA.MB=MA°2+2MA.AI +AI°2-IA°2
     MA.MB=MA°2+2MA.AI
     MA(MA+MB)=MA°2+2(MA.AI)
     MA.AB=2MA.AI
     MA(AI+IB)=2MA.AI
     MA.IB=MA.AI

comme vec. AI=IB

MA.IB=MA.AI
MA.IB=MA.IB


2) nettement moins certaine:

MA.MB=0
(MI+IA).(MI+IB)=0
MI°2+MI.IB+IA.MI+IA.IB=0
MI°2=0
MI=0

sur un cercle de centre I et de rayon MI sont placés l'ensemble
des pointsM


Ce que je viens de te donner est plus une piste qu'une correction
alors regarde si je ne me suis pas plantée qq part et bonne chance!

                                                                
            Sam

Posté par Nil (invité)A Samantha 27-03-04 à 22:52

Salut Samantha

Ton raisonnement concernant la question deux est faux,

MI²+MI.IB+IA.MI+IA.IB=0  n'est pas équivalent à MI² = 0

en effet, MI.IB + IA.MI s'éliminent , et IA.IB = (-AI).IB = - AI.IB
= -AI² (car AI et IB sont deux vecteurs égaux)

on a donc MI² - IA ² = 0 (comme il fallais le démontrer dans la 1ere
question)

de plus un cercle de rayon 0 est assez peu courrant, même si c'est
possible, ce n'est pas le cas ici

Posté par samantha (invité)oups 27-03-04 à 22:57

salut Nil, c'est gentil à toi de m'expliquer mes erreurs,
c'est vrai que mon cercle de rayon 0 était peu probable.

Posté par Nil (invité)re : Produit Scalaire 28-03-04 à 18:50

Ok.
Voila une indication plus précise : revois les regles de politesse de base
mon bon damoiseau

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : Produit Scalaire 28-03-04 à 18:53

Nil,
le message auquel tu devais surement répondre a été supprimé

Posté par Nil (invité)re : Produit Scalaire 28-03-04 à 18:53

en effet j'ai vu cela, c'était une bonne initiative je
crois ^^



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1488 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !