Tout ce qui suit est en vecteurs:

HA = HB + BA

HA.BC+HB.CA+HC.AB = (HB + BA).BC + HB.CA+HC.AB
= HB.BC + BA.BC + HB.CA + HC.AB
= HB.(BC + CA) + BA.BC + HC.AB
= HB.BA + BA.BC + HC.AB
= BA.(HB + BC) + HC.AB
= BA.HC + HC.AB
= HC.(BA + AB)
= 0.
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Supposons un triangle ABC et H le point de rencontre de 2 de ses hauteurs(par
ex celle issue de B et de c).
Comme HB est perpendiculaire à CA, on a : HB.CA = 0   (1)
Comme AB est perpendiculaire à HC, on a : HC.AB = 0   (2)

Par la première partie de l'exercice, on a:
HB.BC + BA.BC + HB.CA + HC.AB = 0
avec (1) et (2) ->
HB.BC + BA.BC = 0
BC.(HB + BA) = 0
BC.HA = 0
Et donc BC est perpendiculaire à HA.
Et donc HA est la direction de la 3ème hauteur du triangle ABC.

Les 3 hauteurs du triangle ABC passe donc par un même point H. Les 3
hauteurs d'un triangle sont donc concourantes.
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Sauf distraction.  

mci beaucoup J-P.
bisousss et j'espère @ une prochaine fois!!!!