salut!!!!
voici mon exercice (impossible!!!lol):
Soient A, B et C 3 points du plan et H un point quelconque.
1-Montrer que les vecteurs HA.BC+HB.CA+HC.AB=0
2-En choisissant un point H particulier, montrer que les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes.
dsl mais j'ai pas du tout réussi à trouver, aucun résultat!!! mci beaucoup d'avance!!!!
Tout ce qui suit est en vecteurs:
HA = HB + BA
HA.BC+HB.CA+HC.AB = (HB + BA).BC + HB.CA+HC.AB
= HB.BC + BA.BC + HB.CA + HC.AB
= HB.(BC + CA) + BA.BC + HC.AB
= HB.BA + BA.BC + HC.AB
= BA.(HB + BC) + HC.AB
= BA.HC + HC.AB
= HC.(BA + AB)
= 0.
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Supposons un triangle ABC et H le point de rencontre de 2 de ses hauteurs(par
ex celle issue de B et de c).
Comme HB est perpendiculaire à CA, on a : HB.CA = 0 (1)
Comme AB est perpendiculaire à HC, on a : HC.AB = 0 (2)
Par la première partie de l'exercice, on a:
HB.BC + BA.BC + HB.CA + HC.AB = 0
avec (1) et (2) ->
HB.BC + BA.BC = 0
BC.(HB + BA) = 0
BC.HA = 0
Et donc BC est perpendiculaire à HA.
Et donc HA est la direction de la 3ème hauteur du triangle ABC.
Les 3 hauteurs du triangle ABC passe donc par un même point H. Les 3
hauteurs d'un triangle sont donc concourantes.
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Sauf distraction.
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