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Prouver qu'une fonction est toujours positive en R

Posté par
Amogus 06-04-21 à 16:14

La fonction (x⁴)/(100)-(49x²)/(100)+6

Je dois prouver qu'elle est toujours positive sur R
Je prend la définition de la dérive qui dis que si f'>0 alors f>0
Sa dérive est (x³)/(25)-(49x)/(50)
Elle est >0 donc j'ai prouvé que la fonction est toujours positive sur R ?

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 16:18

Bonjour

Si pour tout x\in I,\:f'(x)> 0 alors f est  strictement croissante sur I.

On a ceci et non ce que vous avez écrit.

Vous pouvez étudier les variations de f  et montrer  qu'elle admet un minimum positif

Posté par
Amogusre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 16:56

hekla @ 06-04-2021 à 16:18

Bonjour

Si pour tout x\in I,\:f'(x)> 0 alors f est  strictement croissante sur I.

On a ceci et non ce que vous avez écrit.

Vous pouvez étudier les variations de f  et montrer  qu'elle admet un minimum positif


Merci j'avais fais une erreur.
J'ai trouvé le discriminant : 117649/781250
Donc les racines sont x=0 ou x=7/squrt2 ou -7/sqrt2
J'ai bon jusque la ?
Si oui il faut que je calcule les extrémas en fais f(0)=... f(-7/sqrt2)=... et f(7/sqrt2)=...
Si je ne trouve pas de résultats <0 j'ai prouver que f est toujours positif ?

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 17:07

Le discriminant de quoi  ?  Il n'y a aucun trinôme du second degré.

Le texte est bien : \dfrac{x^4}{100}-\dfrac{49x^2}{100}+6  

Quelles racines avez-vous calculées ?

Posté par
Amogusre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 17:13

hekla @ 06-04-2021 à 17:07

Le discriminant de quoi  ?  Il n'y a aucun trinôme du second degré.

Le texte est bien : \dfrac{x^4}{100}-\dfrac{49x^2}{100}+6  

Quelles racines avez-vous calculées ?


Avec divers outil sur internet pour calculer des discriminant etc
Comment je suis sensé trouver les variations sans ca ?

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 17:26

Il faudrait commencer par savoir de quoi l'on parle.

Si vous posez X=x^2 alors on a \dfrac{X^2}{100}-\dfrac{49X}{100}+6
et on peut alors parler du discriminant de ce trinôme  

Ou vous considérez la fonction dérivée \dfrac{x^3}{25}-\dfrac{49x}{50}

Dans ce cas il n'est pas besoin de faire appel au discriminant d'un polynôme du troisième degré,

  car on peut mettre \dfrac{x}{50} en facteur pour obtenir \dfrac{x}{50}\left(2x^2-49\right)

Posté par
Amogusre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 17:38

hekla @ 06-04-2021 à 17:26

Il faudrait commencer par savoir de quoi l'on parle.

Si vous posez X=x^2 alors on a \dfrac{X^2}{100}-\dfrac{49X}{100}+6
et on peut alors parler du discriminant de ce trinôme  

Ou vous considérez la fonction dérivée \dfrac{x^3}{25}-\dfrac{49x}{50}

Dans ce cas il n'est pas besoin de faire appel au discriminant d'un polynôme du troisième degré,

  car on peut mettre \dfrac{x}{50} en facteur pour obtenir \dfrac{x}{50}\left(2x^2-49\right)


Je veux prouver que la fonction (x⁴)/(100)-(49x²)/(100)+6 est toujours positive
Pour cela je derive et obtient (x³)/(25)-(49x)/(50).
Ensuite il faut que j'obtienne le tableau de variation , pour savoir quand la fonction est croissante ou décroissante et vers quel  extremum , nécessairement si un des extremas est inférieur à 0 la fonction n'est pas positive.

J'ai suivis la video d'yvan monka https://youtu.be/23_Ba3N0fu4
Il dis qu'il faut calculer les racines de la derive ce que je fais grâce à l'outil Dcode , j'obtiens x= -7/sqrt2 , x=0 et x=7sqrt2
Puis il dis que je dois remplacer f(x) par ces différents x pour obtenir mes extremas.

Je ne sais pas où je me suis trompé que faire ?

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 17:49

salut,
"Je dois prouver qu'elle est toujours positive sur R"
Qui formule cette demande ?  

Posté par
Amogusre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 17:52

alb12 @ 06-04-2021 à 17:49

salut,
"Je dois prouver qu'elle est toujours positive sur R"
Qui formule cette demande ?  


L'exercice

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 17:54

Là cela commence à être clair vous avez commencé à parler de discriminant alors qu'il y en avait aucun à calculer.

On a f(x)=\dfrac{x^4}{100}-\dfrac{49x^2}{100}+6

On dérive,  on obtient alors f'(x)= \dfrac{x^3}{25}-\dfrac{49x}{50}=\dfrac{x}{50}\left(2x^2-49\right)

f'(x)=\dfrac{x}{25}\left(x-\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\right)\left(x+\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\right)

Quel est le signe de f'(x). Calculez les images.

Dans ce que vous venez d'écrire il n'y a pas d'erreurs.(si l'on ne compte pas l'orthographe)

Ne citez pas cela alourdit pour rien

Posté par
Amogusre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 17:57

Positif
Quelles images ?

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 18:05

Non,  f'(x) n'est pas toujours positif  sinon f serait toujours croissante, ce qui n'est pas possible

vu que f tend vers +\infty  quand x tend vers -\infty ou +\infty.

De plus c'est une fonction paire donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

On cherche l'image de  \dfrac{7\sqrt{2}}{2}

Posté par
Amogusre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 18:29

L'image de f((7sqrt2)/2)) c'est (150-42sqrt2)/2

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 18:41

il y a probablement une erreur dans l'enonce

\\ \left(\begin{array}{cccccccccc} \\ x & -\infty  &   & -\frac{7\cdot \sqrt{2}}{2} &   & 0 &   & \frac{7\cdot \sqrt{2}}{2} &   & +\infty  \\ \\ y'=(\frac{x (2\cdot x^{2}-49)}{50}) & -\infty  & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & +\infty  \\ \\ y=(\frac{x^{4}}{100}-\frac{49\cdot x^{2}}{100}+6) & +\infty  & \searrow  & \frac{-1}{400} & \nearrow  & 6 & \searrow  & \frac{-1}{400} & \nearrow  & +\infty \\ \end{array}\right) \\

Posté par
Amogusre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 18:44

alb12 @ 06-04-2021 à 18:41

il y a probablement une erreur dans l'enonce

\\ \left(\begin{array}{cccccccccc} \\ x & -\infty  &   & -\frac{7\cdot \sqrt{2}}{2} &   & 0 &   & \frac{7\cdot \sqrt{2}}{2} &   & +\infty  \\ \\ y'=(\frac{x (2\cdot x^{2}-49)}{50}) & -\infty  & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & +\infty  \\ \\ y=(\frac{x^{4}}{100}-\frac{49\cdot x^{2}}{100}+6) & +\infty  & \searrow  & \frac{-1}{400} & \nearrow  & 6 & \searrow  & \frac{-1}{400} & \nearrow  & +\infty \\ \end{array}\right) \\


L'exercice demande si je peux prouver ça
Et c'est quoi ce tableau ?

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 18:47

f\left(\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{1}{100}\times \left(\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\right)^4-\dfrac{49}{100}\times\left(\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\right)+6

\left(\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{49}{2}

f\left(\dfrac{7\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{2401}{400}-\dfrac{2401}{200}+6=\dfrac{2401-2\times 2401+2400}{400}=-\dfrac{1}{400}

  Par conséquent l'affirmation  pour tout x,\  f(x)\geqslant 0 est fausse

Posté par
Amogusre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 18:57

Pourquoi tu met 7sqrt2/2 et pas 7/sqrt2 ?

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 19:10

Parce que les valeurs qui annulent 2x^2-49  sont \pm \dfrac{7\sqrt{2}}{2}

c'est aussi ce que vous avez écrit lorsque vous mettez \dfrac{7}{\sqrt{2}}

Citation :
grâce à l'outil Dcode, j'obtiens x= -7/sqrt2 , x=0 et x=7sqrt2


pour l'autre il manque la barre

Posté par
carpediemre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 06-04-21 à 19:43

salut

pour étudier le signe de  f(x) = \dfrac {x^4} {100} - \dfrac {49} {100} x^2 + 6    il suffit d'étudier le signe de g(x) = 100 f(x)  (car je connais le signe de 100)

or g(x) = x^4 - 49x^2 + 600 = x^4 - 50x^2 + 625 + x^2 - 25 = (x^2 - 25)^2 + x^2 - 25 = (x^2 - 25)(x^2 - 24)

cette factorisation suffit pour justifier que g(x) change de signe ... et permet bien sûr de donner très précisément le signe de g(x) donc de f(x) ...

Posté par
alb12re : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 07-04-21 à 08:55

"L'exercice demande si je peux prouver ça"
la reponse est non, il suffit de calculer f(4.9)

Posté par
carpediemre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 07-04-21 à 09:09

une fois que l'on sait que c'est faux un contre-exemple suffit bien sûr ...

pour le savoir il suffit de tracer la courbe de f avec un grapheur (ggb, SQN, ...) ou une simple calculatrice ...

et d'exhiber une valeur convenable ... que l'on trouve par tâtonnement avec le mode trace d'une calculatrice ou plus rapidement avec ggb

mais pour un travail personnel (donc sans prothèse numérique) je préfère amplement le travail sur cette équation "bicarrée" que son étude des variations qui me semble plus fastidieux ...    (mais bien sûr tout à fait convenable)

je propose simplement une alternative algébrique ...

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 07-04-21 à 09:42

Amogus est parti sur une utilisation de la dérivée, j'ai continué.

Le graphique ici ne sert à rien ou alors il faut prendre  25 cm au moins pour pouvoir avoir une valeur.
C'est un bon exemple pour inciter les élèves à se méfier des calculatrices.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 07-04-21 à 09:48

Bonjour,

Citation :
il faut prendre 25 cm au moins pour pouvoir avoir une valeur.
Avec une calculatrice niveau lycée, on peut regarder une table de valeurs si le graphique ne donne rien.
Puis changer la fenêtre.
C'est ce qu'on est censé apprendre aux élèves.

Posté par
heklare : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 07-04-21 à 10:05

Citation :
pour le savoir il suffit de tracer la courbe de f avec un grapheur (ggb, SQN, ...) ou une simple calculatrice ...

Posté par
carpediemre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 07-04-21 à 10:24

hekla @ 07-04-2021 à 09:42

Amogus est parti sur une utilisation de la dérivée, j'ai continué.
j'auria bien sûr continué de la même façon que toi sur la proposition du posteur ...

je ne suis intervenu qu'après que l'exercice soit fini par cette méthode pour montrer une alternative ...


hekla @ 07-04-2021 à 10:05

Citation :
pour le savoir il suffit de tracer la courbe de f avec un grapheur (ggb, SQN, ...) ou une simple calculatrice ...


il faut effectivement jouer avec le zoom mais surtout manuellement et
Sylvieg @ 07-04-2021 à 09:48

Avec une calculatrice niveau lycée, on peut regarder une table de valeurs si le graphique ne donne rien.
Puis changer la fenêtre.
C'est ce qu'on est censé apprendre aux élèves.


je donne régulièrement à mes élèves les fonctions x^3 -x/12 ou (x - 1)^3(x - 2)^5 pour travailler cela lors de l'étude de leur signe ou de leur variation ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Prouver qu'une fonction est toujours positive en R 07-04-21 à 10:38

Citation :
je ne suis intervenu qu'après que l'exercice soit fini par cette méthode pour montrer une alternative ...
Oui, et je l'aurais fait si je n'avais pas été devancée


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