Bonjour,
en regardant les bornes dans la rue qui ont la forme de la figure n°1, je me suis demandé comment on faisait pour calculer leur volume. Je me suis donc fait un petit problème. Pouvez-vous me dire si tout est bon ?
Merci d'avance à ceux qui auront la patience de tout vérifier !

L'énoncé est de moi, j'espère qu'il n'y a aucune incohérence.

On considère un borne à base carrée de 30 cm (Figure n°1) et dont les faces sont des trapèzes isocèles. On n'a pas toutes les mesures. On sait juste que BJ = 20 cm et que JBA = 60°. Calculer le volume de la borne.



Voici la manière dont j'ai procédé : tout d'abord je calcule les mesures de la grande pyramide (Figure n°2) dont la borne n'est qu'une partie et j'en déduis les mesures de la petite pyramide au dessus de la borne. Ensuite je soustrais au volume de la grande pyramide celui de la petite pyramide.



Hauteur de la grande pyramide :

M est le milieu de [AB].
On a tan HÂB = HM/AM
HM = 153

DB² = DA² + AB²
               = 1800
DB = 302
OB = 302 / 2 = 152

OM² = OB² - MB²
               = (152)² - 15²
               = 15²
OM = 15

OH² = HM² - OM²
               = (153)² - 15²
               = 450

OH = 152

Longueur des arêtes latérales de la grande pyramide :

cos HÂB = AM/AH
AH = AM/cos60° = 15*2 = 30

Mesures de la grande pyramide :

Hauteur =  152 cm ; Arêtes latérales = 30 cm



Longueur des arêtes latérales de petite pyramide :

HJ = HB - JB = 10 cm

Longueur des côtés de la base de la petite pyramide :

D'après le théorème de Thalès,
HJ/HB = IJ/AB
IJ = 10/30 * 30 = 10

Hauteur de la petite pyramide :

D'après le théorème de Thalès,
HP/H0 = HJ/HB
HP = 10/30 * 152 = 52

Mesures de la petite pyramide :

Côté de la base = 10 cm ; Hauteur = 52 ; Arêtes latérales = 10 cm.

Volume de la borne :

Volume de la grande pyramide - volume de la petite pyramide =
[(30²*152) / 3] - [(10²*52) / 3] = 40002 cm³