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Quadrilatere
Bonsoir! J'ai une DM de math á faire et je bloque totalement dés la première question... je joint donc l'énoncé, mes réflexions et la figure.
Soit ABCD. I est le milieu de la diagonale [AC]. H et K sont les projetés orthogonaux de B et D sur (AC).
1 a.Montrer que AB2 - BC 2= 2IH . AC [IH et Ac sont des vecteurs]
Pour l'instant je trouve: AB2 - BC2= (AB + BC) (AB - BC)= AC.(AB-BC)
Resterait á démontrer que 2IH = AB-BC ... ou alors je fais fausse route totale??
b. Exprimer de meme AD2- DC2 á l'aide de IK et AC.
ET bien de meme, (AD+DC)(AD-DC)= AC(AD-DC)
AD-DC = 2IK ???
2. En déduire que les diagonales du quadrilatere ABCD sont pependiculaires si et si seulement si AB2 + DC2 = BC2 + AD2
Re-blocage a cette question...
Bon voila si quelqun pouvait m'aider ca serait trés sympa 
merci d'avance.
Bonsoir,
1) tu es sur la bonne voie.
Il faut après que tu utilises la propriété du produit scalaire concernant les projetés orthogonaux:
AC.AB = AC.AH et -AC.BC = -AC.HC
Donc
AB² - BC² = (AB+BC)(AB-BC) = AC.(AB-BC) = AC.(AH-HC) = AC.(AI+IH+CI+IH) = 2IH.AC car I est le milieu de [AC].
b) De manière analogue:
AD²- DC² = (AD+DC)(AD-DC) = AC.AD -AC.DC = AC.AK + AC.CK = AC.(AK+CK) = AC.(AI+IK+CI+IK) = 2IK.AC
2)
(AC) perpendiculaire à (BD)
<=> AC.BD = 0
<=> AC.(BI+ID) = 0
<=> AC.BI + AC.ID = 0
<=> AC.HI + AC.IK = 0 (par projection sur (AC))
<=> -AC.IH + AC.IK = 0
<=> -AB² +BC² +AD² -DC² = 0
<=> AB²+DC² = BC²+AD².
cqfd.
Voilà,
padawan.
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