D'ailleurs j'ai le même problème avec sin(1)...

Ecris l'énoncé au complet.

Il est demandé de vérifier que la seule solution vérifiant y(0) = y(1) = 0 est la fonction nulle.

On a une équation différentielle homogène de départ (H) : y"(t)- 4y'(t) + 5y(t) = 0

J'en ai déduis (à partir de l'équation caractéristique) que les solutions étaient sous la forme,

y(t) = exp(2t)*(Acos(x) + Bsin(x))  avec A et b appartenant à R²

Pour répondre à la question j'ai essayé de voir ce que valait effectivement y(0) et y(1)

Pour y(0) pas de problème, y(0) = A (donc c'est égale à 0 si A = 0)

mais pour y(1), y'a un hic.

Bonjour,

On demande de trouver A et B connaissant y(0) et y(1), pas le contraire...

y'' + 4y' + 5y = 0

r² + 4r + 5 = 0
r = -2 +/- i

y(t) = e^(-2t).(A.cos(t) + B.sin(t))
-----

y(0) = 0 ---> e^0.(A.cos(0) + B.sin(0)) = 0
A.cos(0) + B.sin(0) = 0
A * 1 + 0*B = 0
A = 0 (1)

---> y(t) = B.e^(-2t).B.sin(t))

y(1) = 0
B.e^(-2)*sin(1) = 0
comme (e^-2).sin(1) est différent de 0 ---> B = 0  (2)

et donc y(t) = 0.e^(-2t).B.sin(t))

y(t) = 0

Dans la seule solution vérifiant y(0) = y(1) = 0 est la fonction nulle.
-----
Sauf distraction.  

Zut,

remplacer dans ma réponse précente :
y(t) = B.e^(-2t).B.sin(t)) par y(t) = B.e^(-2t).sin(t))

et remplacer aussi : y(t) = 0.e^(-2t).B.sin(t)) par y(t) = 0.e^(-2t).sin(t))

Bonjour

1 signifie 1 radian, ce qui correspond à degrés.

cos(1) 0,54 et sin(1) 0,841.

Les solutions de l'équation différentielle sont :

y(t) = e^2t(Acos(t) + Bsin(t)), A et B constantes réelles.

Les conditions initiales y(0) = y(1) = 0, mènent à :

y(0) = A = 0
y(1) = e²(Acos(1) + Bsin(1)) = 0

En remplaçant A par 0 dans la seconde équation, il reste e²Bsin(1) = 0
Ce qui donne B = 0.

Hmm, c'est vrai, mais quand même je serais curieuse de savoir comment trouver ce que vaut cos(1) (même si ce n'est pas nécessaire pour résoudre cette exo). Y'a-t-il une méthode?

Au fait J-P, merci, mais tu as fait une petit erreur. Ce n'est pas y'' + 4y' + 5y = 0 mais y'' - 4y' + 5y = 0. Donc on a plutôt exp(2t), au lieu de exp(-2t). Mais bon ça ne change rien au résultat ^^

Effectivement le calcul n'est pas indispensable. Il suffit simplement de voir que sin(1) est non nul.

Les valeurs approchées que je t'indique viennent d'une calculette basique réglée en unités radians.

Oui, c'est facile avec une calculatrice. Mais je me demandais simplement si on pouvait pas transformer cos1) en quelque chose d'autre pour trouver sa valeur. (sans utiliser de calculette bien sûr)

non sin(1) c'est comme ln(2) ou racine(37), ça ne se simplifie pas !

Ah dommage. Merci en tout cas!

A plus