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Question : Analyse

Posté par
yns91 03-09-20 à 00:56

Bonjour bonsoir l'ile

J'espère que vous allez bien, j'ai une question à vous poser.

Si on considere une suite (u_n) strictement positive et un réel k compris dans l'intervalle ]0;1[. On suppose que \frac{u_n}{u_{n+1}} < 1 (inf. ou égal à 1) à partir d'un certain rang N.

Est-ce que la limite de (u_n) quand n tend vers + l'infini est nulle ?
Si oui pourquoi est-elle nulle et pas rélle positive  comme 2 ?



Merci d'avance !

Posté par
Zormuchere : Question : Analyse 03-09-20 à 01:43

Bonsoir
à quoi sert  k  du coup ?

si on a à partir d'un certain rang  0<\dfrac{u_n}{u_{n+1}}<k  effet la suite tend vers 0
  
Sinon, dire \dfrac{u_n}{u_{n+1}}<1  revient à dire  u_n<u_{n+1} et donc c'est le cas de toutes les suites croissantes, qu'elles convergent ou non

Posté par
Zormuchere : Question : Analyse 03-09-20 à 01:44

Edit : je viens de voir que tu as mis "inférieur ou égal à 1"
c'est encore plus simple : on prend une suite constante, le rapport entre deux termes consécutif est égal à 1, et elle converge vers ce qu'on veut

Posté par
carpediemre : Question : Analyse 03-09-20 à 09:07

salut

je ne comprends pas ...

prenons u_n = 2^n ... alors \dfrac {u_n} {u_{n + 1}} = \dfrac 1 2 et \lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty

...

Posté par
yns91re : Question : Analyse 03-09-20 à 10:26

Je suis désolé mais j'ai fait une faute d'inattention  j'en suis désolé.

C'est frac{u_{n+1}}{u_n} au lieu de un/un+1 ...

Posté par
yns91re : Question : Analyse 03-09-20 à 10:26

Je suis désolé mais j'ai fait une faute d'inattention  j'en suis désolé.

C'est \frac{u_{n+1}}{u_n} au lieu de un/un+1 ...

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 03-09-20 à 11:43

Bonjour yns91,

essaye d'exprimer les termes de ta suite (à partir d'un certain rang) en fonction de quotients u(k+1)/u(k)

Posté par
yns91re : Question : Analyse 03-09-20 à 12:38

Il s'agit d'une question que je me pose

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 03-09-20 à 13:27

Quoi de mieux en maths que de répondre à sa question en faisant une petite démonstration...

Posté par
yns91re : Question : Analyse 03-09-20 à 14:04

Kernelpanic

J'ai fait une démo sur ce topic

Factorielle

Au message du 30-07-20 à 23:13

Je voudrais savoir pourquoi la limite est nulle et pas un réel k positif comme 2 ?

Posté par
Zormuchere : Question : Analyse 03-09-20 à 18:07

ouille

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 03-09-20 à 18:21



si tu as démontré qu'une proposition est vraie, pourquoi douter de sa véracité ? si tu as montré que la limite de la suite est zéro, bah c'est que sa limite est zéro... et pas un réel strictement positif...

Posté par
yns91re : Question : Analyse 03-09-20 à 20:31

1. Je ne sais pas si la démo est correcte
2. Je doute de la véracité car je me demande pourquoi ce n'est pas un réel positif différent de 0

Posté par
Zormuchere : Question : Analyse 03-09-20 à 21:41

Re-bonjour

est-ce qu'on parle bien des suites vérifiant à partir d'un certain rang 0<\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<k pour  0<k<1  ?

Posté par
yns91re : Question : Analyse 04-09-20 à 14:59

Non \{u_{n+1}}{u_n}<k  avec k dans ]0;1[

Posté par
yns91re : Question : Analyse 04-09-20 à 15:01

reciticatif latex!!

\frac{u_{n+1}}{u_n} < k avec k un réel compris dans l'intervalle ]0;1[ (à partir d'un certain rang N)

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 04-09-20 à 15:26

yns91 tu as supposé ta suite strictement positive, donc on est dans la situation de Zormuche à 21:41

Posté par
yns91re : Question : Analyse 04-09-20 à 17:21

Oui donc la limite est forcément 0 ??

Posté par
Zormuchere : Question : Analyse 04-09-20 à 19:05

Intuitivement, c'est parce que après N, la suite (u_n) est inférieure à une suite géométrique de raison k, donc qui converge vers 0, et on applique le théorème des gendarmes

Rigoureusement, ça donne :
Démontrer que pour tout n >=N, on a u_n <= u_N * k^(n-N)

Posté par
yns91re : Question : Analyse 05-09-20 à 12:47

Je suis pas d'accord

On aurait pu avoir une convergence vers 2 et avoir

u(300)=2,0000700
u(301)=2,0000698

On a bien u(n+1)/u(n) < 1 et pourtant la suite tend vers 2

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 05-09-20 à 12:59

Ce que tu écris n'est pas une suite, tu as donné seulement deux termes donc impossible de parler de suite et de limite ; impossible aussi de vérifier qu'à partir d'un certain rang N, pour TOUT entier k plus grand que N, on a le quotient plus petit que 1.

Posté par
carpediemre : Question : Analyse 05-09-20 à 13:09

soit p est un réel positif et q un réel de l'intervalle ]0, 1[ et posons u_n = p + q^n

alors il est évident que \dfrac {u_{n + 1}} {u_n} < 1 $ et $ \lim_{n \to + \infty} u_n = p

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 05-09-20 à 13:26

Je m'étais persuadé qu'on parlait de la limite du quotient, d'où mon précédent message (à partir d'un certain rang) etc... sûrement à cause du critère de d'Alembert.

Posté par
Zormuchere : Question : Analyse 05-09-20 à 15:25

yns91 être strictement inferieur à 1 n'est pas pareil qu'être strictement inférieur à un réel strictement inférieur à 1

Dans le premier cas le quotient peut tendre vers 1 et c'est ce qui fait qu'on obtient une suite convergente
Dans le deuxième cas c'est impossible

Posté par
Zormuchere : Question : Analyse 05-09-20 à 15:27

Rectification

Dans le premier cas le quotient peut tendre vers 1 et c'est ce qui fait qu'on peut obtenir une suite convergeant vers n'importe quel reel
Dans le deuxième cas c'est impossible que le quotient tende vers 1 et la suite converge vers 0

Posté par
yns91re : Question : Analyse 06-09-20 à 14:30

Je ne comprend plus les réponses de chaque intervenant sont différentes et je suis embrouillé

Posté par
yns91re : Question : Analyse 06-09-20 à 14:35

On va reprendre sans diverger

- On a une suite (u_n) positive donc u_n \geq 0.
- On sait qu'il existe un rang N tel que \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq k avec k un réel compris dans  ]0,1[.

- Maintenant j'ai une question : pourquoi la limite de (u_n) est 0 ?  


Merci !

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 06-09-20 à 15:17

Bon. Tu changes ton énoncé initial. Je rappelle qu'en premier lieu, tu as posé les hypothèses :

Citation :
Si on considere une suite (u_n) strictement positive et un réel k compris dans l'intervalle ]0;1[. On suppose que \frac{u_n}{u_{n+1}} < 1 (inf. ou égal à 1) à partir d'un certain rang N.


où on voit que le réel k n'apparaît pas. Si on a le quotient plus petit que 1 : la suite peut se comporter comme elle veut (cf message de carpediem ou tout simplement la suite u(n) = n).

Maintenant, si on part de l'hypothèse :

Citation :
- On a une suite (u_n) positive donc u_n \geq 0 ET est strictement positive à partir d'un certain rang.
- On sait qu'il existe un rang N tel que \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq k avec k un réel compris dans  ]0,1[.


je réponds à ta question : parce que tu l'as prouvé dans le fil que tu m'as cité. Si tu as prouvé que la limite devait être forcément être égale à 0, eh bien c'est que 0 et pas un autre réel. La preuve :

On considère que le rang N est le rang qui correspond à la stricte positivité de la suite (pour pouvoir considérer les quotients) mais aussi à l'hypothèse :

\forall p \geq N ~ : ~ 0 < \dfrac{u_{p+1}}{u_p} \leq k < 1

Alors :

\forall q > N ~ : ~ u_q = \dfrac{u_q}{u_{q-1}} \times \dots \times \dfrac{u_{N+1}}{u_N} \times u_N \leq k^{q-N}\times u_N

Or uN est fixé, q est compris entre 0 et 1 donc 0 \leq \lim_{\limits q \to +\infty} u_q \leq \lim_{\limits q \to +\infty} q^{q-N} \times u_N = 0 puis on conclut avec le théorème des gendarmes.

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 06-09-20 à 15:20

dans la dernière inégalité, ce n'est pas q puissance q-N mais k puissance q-N.

Posté par
yns91re : Question : Analyse 06-09-20 à 17:24

Kernelpanic j'ai compris

Moi je considère une suite comme une liste ordonnée de nombres
Mais je voudrais envoyer un schéma

Question : Analyse

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 06-09-20 à 17:31

Dans ton cas il n'existe pas de k strictement inférieur à 1 qui majore ton quotient. Regarde par exemple, 6,02/6,03, c'est très proche de 1, et on va s'en rapprocher de plus en plus. On peut même dire que le sup de l'ensemble des quotients va être 1, donc pour tout réel k strictement inférieur à 1 on pourra trouver un quotient plus grand que k (par définition du sup).

Posté par
carpediemre : Question : Analyse 06-09-20 à 18:55

carpediem @ 05-09-2020 à 13:09

soit p est un réel positif et q un réel de l'intervalle ]0, 1[ et posons u_n = p + q^n

alors il est évident que \dfrac {u_{n + 1}} {u_n} < 1 $ et $ \lim_{n \to + \infty} u_n = p

Posté par
yns91re : Question : Analyse 08-09-20 à 11:50

Donc si j'ai bien compris le quotient u(n+1)/u(n) décroît vers 0.
Donc les termes décroissent de manière rapide

Une dernière question:
Mais vu que u(n) tend vers 0 le quotient u(n+1)/u(n) redevient croissant puisque les temes se rapprochent les uns des autres vers 0 ?

Posté par
yns91re : Question : Analyse 10-09-20 à 18:09

Up

Posté par
Kernelpanicre : Question : Analyse 11-09-20 à 09:25

Le quotient ne décroît pas... et ne tend pas vers 0...

tu le vois assez bien sur l'image que tu nous a donné

0,87 -> 0,88 -> 0,89 -> 0,98 -> ...

mais regarde l'exemple de carpediem, il est très bien et fournit directement une suite qui tend vers n'importe quel réel p et qui vérifie la condition du quotient strictement inférieur à 1. Ce qui marche pas justement avec son exemple c'est que la limite du quotient est 1, donc impossible de trouver un réel k compris entre 0 et 1 qui majore le quotient à partir d'un certain rang.


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