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Racine ième d'un complexe

Posté par
Sokkok 04-06-23 à 11:58

Bonjour j'ai une question je n'ai bien compris
Est ce que cette solution pour calculer cet exercise ont le même ou Non mais lorsque je fais la méthode 2 je tombe sure un peu bizzare ce n'est pas comme méthode 1 ,  pour la méthode 1 c'est la méthode dans mon cours.

Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait
--------------------
Méthode 1)

\large Z^{3} = 8i

\large Z = r^{3}.e^{3i\theta}

\large 8i = 8.e^{i\frac{\pi }{2}}

Donc on a :

\large r^3 = 8 = \sqrt[3]{8}=2

\large 3\theta = \frac{\pi }{2} +k2\pi

\large \theta = \frac{\pi }{6} + \frac{2k\pi }{3}

Donc on a emsemble solution :  \large 2.e^{\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}}

Après on cherche ensemble solution pour k = 0 , k =1 , k= 2  etc--
----------------------------------
Méthode 2)

\large z^3 = 8i = \left(\frac{z}{2i} \right)^3
\large \left(\frac{z}{2i} \right)^3 = 1

\large \left(\frac{z}{2i} \right) = e\frac{6ik\pi }{3} = e^{2ik\pi}}

\large z = 2i. e^{2ik\pi}}

Après lorsque je cherche les solutions pour k=0 , k=1 , k=2 donc je ne tombe pas la même chose je pense méthode 2 est fausse ?

mais cette méthode 2) j'ai trouvé  la video sur youtube il fait calcule avec \large Z^{5} = 32i donc  j'applique la même chose comme \large Z^{3} = 8i  mais le résultat ce ne sont pas le même ?

Pouvez m'expliquer s'il vous plait .

Posté par
azerti75re : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 12:10

Bonjour,
J'ai corrigé quelques fautes:  

Sokkok @ 04-06-2023 à 11:58



Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait
--------------------
Méthode 1)

\large Z^{3} = 8i

\large Z^{3} = r^{3}.e^{3i\theta}

\large 8i = 8.e^{i\frac{\pi }{2}}

Donc on a :

\large r^3 = 8  Donc   r = \sqrt[3]{8}=2



.

Posté par
Sokkokre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 12:16

Bonjour
Pouvez vous m'expliquer pourquoi la méthode 2) les solution ne sont pas le même ?

Posté par
azerti75re : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 12:17

Sokkok @ 04-06-2023 à 11:58


----------------------------------
Méthode 2)

\large z^3 = 8i = \left(\frac{z}{2i} \right)^3
\large \left(\frac{z}{2i} \right)^3 = 1



Là tu as écrit que Z ^3 = 1 , ce qui est faux car Z ^3 = 8 i et 8 i n'est pas égal à 1.

Donc montre-la ta video

Posté par
carpediemre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 12:17

salut

méthode 1 : bof dans la rédaction

méthode 2 : bof et des erreurs : combien vaut i^3

et surtout tu n'as pas la forme exponentielle

passer de z^3 = 8i à \left( \dfrac z w \right)^3 = 1 signifie que w^3 = 8i donc c'est simplement changer de nom l'inconnue ...


il suffit d'écrire :   z^3 = 8i \iff z^3 = 2^3 e^{i \frac \pi 2} \iff z^3 = \left( 2 e^{i \frac \pi 6} \right)^3 \iff ...

Posté par
azerti75re : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 12:27

Je laisse la place à carpediem, qui s'accapare tous les sujets sur ce site comme d'habitude.
ça fait longtemps que je n'étais pas venu, mais je constate que rien n'a changé.

Posté par
Sokkokre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 12:30

azerti75
Voici la video :

https://www.youtube.com/watch?v=GXAq_SeFdgc

Posté par
Sokkokre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 12:34

carpediem

Daccord Merci beacoup ,
Pour \large i^3 = -1

j'ai mis le lien video ci dessus mais pourquoi Mr il a fait comme ça si je fais comme lui ça ne marche pas ? je ne comprends pas ou c'est moi qui se trombe dans le calcule ?

Posté par
Sokkokre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 12:51

Si je fais comme la video dessus on obtien :

Z^3 = 8i

Z^3 = (2i)^3

\left(\frac{z}{2i} \right)^3 = 1

\large \left(\frac{z}{2i} \right) = e^{\frac{2ik\pi }{n}}

\large z = -2i.e^\frac{2ik\pi }{3}

Posté par
carpediemre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 15:09

Sokkok @ 04-06-2023 à 12:34

Pour \large i^3 = -1
je ne pense pas ...

azerti75 : je ne m'accapare rien du tout ... je réponds quand je ne vois aucune réponse au moment où je réponds !!

enfin si tu suis mes interventions tu verras que j'abandonne régulièrement la poursuite (de mon intervention) quand d'autres interviennent ... même bien après moi

quant à "l'accaparement" d'aucun font bien mieux que moi dans le forum lycée ...

Posté par
carpediemre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 15:10

par contre il est vrai que 8i = (-2i)^3

Posté par
carpediemre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 15:11

et c'est donc là où est l'erreur ...

Posté par
malou Webmasterre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 16:50

Bonjour
12h10 AZERTY répond
12h16 sokkok répond
12h17 carpediem prend la main alors qu'azerty a priori n'est pas parti ...
Ben alors carpediem ....

Posté par
carpediemre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 17:41

malou :

carpediem @ 04-06-2023 à 15:09


azerti75 : je ne m'accapare rien du tout ... je réponds quand je ne vois aucune réponse au moment où je réponds !!.


par contre je reconnais une erreur : je n'ai pas vu qu'à 12h10 l'auteur n'était plus le même et j'ai cru que c'était l'auteur qui s'était corrigé lui-même des erreurs ...

c'est pourquoi j'ai été étonné de la remarque de azerti75 qui pour moi avait répondu en même temps que moi à 12h17  pour la première fois

ensuite tu remarqueras que je ne suis plus intervenu jusqu'à 15h ...

avec toutes mes excuses ...

Posté par
Pirhore : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 19:19

Bonjour à tous,

je ne fais que passer!!

@Sokkok: une autre méthode de résolution qui ne répond pas à ta question mais qui fait appel aux factorisations

z^3-8i=0

z^3+8i^3=0 , de la forme a^3+b^3

(z+2i)(z^2-2iz-4)=0

(z+2i)[(z-i)^2-(\sqrt{3})^2]=0

...

Posté par
Sokkokre : Racine ième d'un complexe 04-06-23 à 21:35

Bonjour je suis vraiment désolé pour réponse trés tard car je viens terminé mes cours .

Encore désolé  , en fait j'ai du écrire -i à lace -1

\large i^3 = -i

Mais ce que je n'ai pas compris sur cette vidéo il a utilisé ça et moi j'ai essayé faire comme lui ça ne marche pas \large z^3 = 8i ?

https://www.youtube.com/watch?v=GXAq_SeFdgc&t=584s

Posté par
luzakre : Racine ième d'un complexe 05-06-23 à 08:34

Si sur la vidéo il y a une puissance 5 il est clair que tu ne peux l'utiliser sans réflexion quand tu as l'exposant 3.

Par exemple que valent \mathrm{i}^3\text{ et }\mathrm{i}^5 ?

Posté par
Sokkokre : Racine ième d'un complexe 05-06-23 à 09:16

\large i^3 = -i et
\large i^5 = i


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