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Racines emboîtées la suite

Posté par
alb12 19-01-23 à 19:06

Salut,

\\ $Soit la suite $u$ définie par: $ \\ u_2=\sqrt{2} \\ u_3=\sqrt{2\sqrt{3}} \\ u_4=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4}}} \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ u_n=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{\cdots\sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}}} \\ $Que dire de cette suite (conjectures/démonstrations) ? $ \\

On peut consulter cette discussion racines emboitées

Posté par
lakere : Racines emboîtées la suite 19-01-23 à 20:23

Bonsoir,

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Posté par
lakere : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 01:12

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Posté par
dpire : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 09:00

Bonjour
Sans me lancer dans une démonstration déontologique...

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Posté par
larrechre : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 09:59

Bonjour,

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Posté par
lakere : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 12:48

Bonjour,

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Posté par
alb12re : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 13:38

oui bien vu la transformation du produit en somme permet de conclure.
Je ne sais pas si on peut ameliorer le majorant.
Ci dessous les 300 premiers termes de la suite avec 90 chiffres significatifs
si necessaire decocher Q/R sur une ligne (config en haut à gauche)
si necessaire cliquer deux fois sur Exec (en bas à gauche)

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Posté par
lakere : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 14:15

Merci alb12 : je me suis bien amusé avec cet exercice (et le précédent).
Et puis et puis, nous avons une nouvelle constante : la désormais célèbre constante d'alb12

Posté par
alb12re : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 17:31


un majorant legerement sup à 3 (conjecture à verifier)

Posté par
lakere : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 18:07

Oui, je crois que ça marche. Si on en va par là, on peut majorer \dfrac{\ln\,k}{2^{k-1}} par \dfrac{1}{k^3} à partir du rang 14 qui donne un majorant de 2.767
J'ai même l'impression qu'on peut majorer par \dfrac{1}{k^a}  (a\in\mathbb{N}) le tout en sachant à partir de quel rang.
Mais là on commence à sortir les calculettes, logiciels ... Est-ce bien raisonnable ?

Posté par
alb12re : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 18:41

peut etre pas 1/k^3 mais 1/k^4 oui car on a la valeur exacte de Zeta(4)

Posté par
lakere : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 18:55

Encore faut-il déterminer, si possible  "by fair means", à partir de quel rang. (A mon avis pas facile).
Et calculer la somme des premiers termes (avec une calculette vite débordée quant aux décimales ou un logiciel de calcul).
Je disais "Est-ce bien raisonnable ?" ... quand ces mêmes logiciels nous donnent une approximation pratiquement aussi bonne que l'on veut : on coupe et on ajoute une unité à la dernière décimale pour tenir un majorant.

Posté par
alb12re : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 19:15

pour le calcul des premiers termes on peut avoir confiance dans la machine mais pour un programme avec une boucle de 1000000 de tours on peut douter de la reponse.
On se souvient du crash d'ariane 5

Posté par
alb12re : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 23:02

"Et puis et puis, nous avons une nouvelle constante : la désormais célèbre constante d'alb12"
pas de chance c'est deja (presque) pris

Posté par
lakere : Racines emboîtées la suite 20-01-23 à 23:38

Rien du tout : ce n'est que la racine de la tienne !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Racines emboîtées la suite 21-01-23 à 18:22

Bonjour,
Pour "un majorant obtenu à un niveau elementaire", voir racines emboitées

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Racines emboîtées la suite 22-01-23 à 10:22

Une adaptation à u_n=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{\cdots\sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}}} :
Pour n \geq 2
u_{n} =2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{2^{2}}} \times 4^{\frac{1}{2^{3}}} \times .... \times i^{\frac{1}{2^{i-1}}} \times .... \times n^{\frac{1}{2^{n-1}}}

Pour 0 \leq k \leq n-2, on pose
w_{k} = (n-k)^{\frac{1}{2}} \times (n-k+1)^{\frac{1}{2^{2}}} \times ..... \times (n-1)^{\frac{1}{2^{k}}} \times n^{\frac{1}{2^{k+1}}}
On a alors w_{n-2} = u_{n}.

Il s'agit de démontrer par "récurrence" l'inégalité Pk suivante :
w_{k} < n-k+1 pour 0 \leq k \leq n-2.

P0 est vraie car w_{0} = n^{\frac{1}{2}} et \sqrt{n} < n+1.

Si pour un k entier tel que 0 k n-3 on a w_{k} < n-k+1 alors

(n-k-1)\times w_{k} < (n-k-1)(n-k+1) < (n-k)^{2}
D'où
((n-k-1)\times w_{k})^{\frac{1}{2}} < n-k
Qui donne w_{k+1} < n -(k+1)+1, c'est à dire Pk+1.

Conclusion : Pn-2 est vraie, c'est à dire u_{n} < 3.

Posté par
lakere : Racines emboîtées la suite 22-01-23 à 10:54

Voilà les choses proprement faites
C'est dommage qu'il y ait deux sujets. Mais maintenant on ne peut plus les réunir : ça deviendrait incompréhensible

Posté par
alb12re : Racines emboîtées la suite 22-01-23 à 12:41

Merci
Une variante pour la redaction de la recurrence.

\\ P(k): \sqrt{k\sqrt{(k+1)\sqrt{\cdots\sqrt{n}}}}<k+1  (2\leqslant k\leqslant n) \\ $1) $P(n)$ est vraie car $\sqrt{n}<n+1 \\ $2) si $P(k)$ est vraie $(3\leqslant k\leqslant n) \\ $alors $(k-1)\sqrt{k\sqrt{(k+1)\sqrt{\cdots\sqrt{n}}}}<(k-1)(k+1) \\ $alors $(k-1)\sqrt{k\sqrt{(k+1)\sqrt{\cdots\sqrt{n}}}}<k^2 \\ $alors $\sqrt{(k-1)\sqrt{k\sqrt{(k+1)\sqrt{\cdots\sqrt{n}}}}}<k \\ $alors $P(k-1)$ est vraie \\ \\ $Ainsi $P(k)$ est vraie pour tous les entiers $k$ compris entre 2 et $n \\ $En particulier $P(2)$ est vraie$ \\ $La suite est donc majorée par 3$ \\ \\

Posté par
alb12re : Racines emboîtées la suite 22-01-23 à 21:55

Pour encadrer la limite de la suite voir racines emboitées

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Racines emboîtées la suite 23-01-23 à 07:32

@alb12,
Ta "variante" est beaucoup plus élégante et simple que mes "choses propres" !
Je voulais absolument faire une récurrence montante, et n'avais pas réussi à ne pas remplacer les racines carrées par des exposants.
Que ce soit ta présentation ou la mienne, est-ce vraiment une récurrence ?

Posté par
alb12re : Racines emboîtées la suite 23-01-23 à 10:27

recurrence descendante finie Récurrence descendante

puis Cours puis Polycopies des cours 2022/2023 puis les fondements p17

mais tu as raison:
"D'un point de vue purement logique, il ne s'agit pas de l'utilisation du
principe de récurrence, mais d'une itération (utilisation répétée, en nombre fini, du modus ponens,
par transitivité de l'implication)."


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