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rectangle d or

Posté par leles (invité) 17-04-05 à 00:40

On dit qu'un rectangle est un rectangle d'or lorsque sa longeur L et sa largeur sont telles que L-l/l = l/L
1)Montrer que dans un rectangle d'or la largeur l et la longeur L sont liées par la relation : L²-Ll-l²=0
2)En déduire que le quotient L/l est solution de l'équation x²-x-1=0
On appelle ce quotient
3) Développer, réduire et ordonner l'expression (x-1/2)²-1/4-1
4) En déduire que l'expression x²-x-1=0 a les mêmes solutions que l'équation (x-1/2)²=5/4
Résoudre cette équation en déduire (>0)
Merci de votre aide et à bientôt !!
Leles

Posté par
isisstruissre : rectangle d or 17-04-05 à 01:00

Bonsoir leles!

(1)
Il suffit de faire le produit en croix:
\frac{L-I}{I}=\frac{I}{L}\qquad\Rightarrow\qquad(L-I)L=I^2

(2)
Il suffit de diviser l'équation d'avant par I²:
L^2-Ll-l^2=0\qquad\Rightarrow\qquad\(\frac{L}{I}\)^2+\frac{L}{I}-1=0
ensuite tu poses x=L/I

(3)
Il suffit de développer, c'est très simple:
(x-1/2)²-1/4-1=x²-x-1

(4)
(x-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}\qquad\Rightarrow\qquad x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\qquad\Rightarrow\qquad x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}

Isis

Posté par
matheuxxxNombre d or 17-04-05 à 01:05

Salut

1) Tu sait que \frac{L-l}{l}=\frac{l}{L}
donc on multipliant des deux cotes par L on obtient \frac{L²-Ll}{l}=l
donc on multipliant par l L²-Ll=l² et tu trouve finalement L²-Ll-l²=0

2)En remplacant x par L/l dans l'equation tu trouve {\frac{L}{l}}^2-\frac{L}{l}-1 et en simplifiant tu trouve \frac{L²}{l²}-\frc{L}{l}-1 ou encore \frac{L²-Ll-l}{l²} or par la premiere question tu sait que L²-Ll-l=0 donc \frac{L²-Ll-l}{l²}=0 donc tu as bien \frac{L}{l} est solution de x²-x-1

3) pour cela il suffit de developer en utilisant les identites remarquables
(x-1/2)²=x²-x+1/4
Donc (x-1/2)²-1/4-1=x²-x-1

4)x²-x-1=(x-1/2)²-1/4-1=0
Donc lessolutions de x²-x-1 sont les solutions de (x-1/2)²=5/4
Ensuite x-1/2 = racine de 5/4 = (racine de 5)/2
Donc x=\frac{1+sqrt{5}}{2}=\varphi

Posté par leles (invité)re 17-04-05 à 12:04

merci pour vos réponses par contre j'ai pas très bien compris la dernière question !!
Merci encore !
Leles

Posté par
isisstruissre : rectangle d or 17-04-05 à 12:29

Les deux équations sont équivalentes.
\(x-\frac{1}{2}\)^2=\frac{5}{4}\\ \Longleftrightarrow\qquad x^2+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\\ \Longleftrightarrow\qquad x^2+x-1=0

Isis

Posté par leles (invité)[smb]phi[/smb]>0 ??? 17-04-05 à 12:55

Je n'arrive pas à démontrer que >0
Merci de m'aider !!!!!
Leles

Posté par
isisstruissre : rectangle d or 17-04-05 à 13:27

Je pense que tu as vu que l'équation x²-x-1=0 admet deux zéros, dont un est positif et l'autre négatif. Les voici:
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}. Tu écartes la solution négative et tu gardes l'autre.

Tu as peut-être mal compris la question. On ne demande pas d'en déduire que >0. On démande d'en déduire tout court. On précise ensuite en parenthèses qu'on cherche >0 et donc qu'il faut écarter d'éventuelles solutions négatives.

Isis


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