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Récurrence

Posté par
Makoto03 04-10-21 à 22:06

Bonjour,

Montrer que pour tout entier n1, on a:

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}=cos(\frac{\pi }{2^{n+1}})
(Le nombre 2 apparaissent n fois sous la racine)


Merci d'avance!

Posté par
Makoto03re : Récurrence 04-10-21 à 22:07

Makoto03 @ 04-10-2021 à 22:06

(Le nombre 2 apparaissent n fois sous la racine)


apparaissant*

Posté par
bernardo314re : Récurrence 04-10-21 à 22:16

Bonjour,

Qu'as tu fais ?

Posté par
Makoto03re : Récurrence 04-10-21 à 22:40

Salut!
*Initialisation:
pour n=0:
cos(\frac{\pi }{2})=0 est vrai.
*Hérédité:
Soit n fixé. On suppose P(n) (l'assertion à démontrer) et on montre P(n+1).

cos^2(\frac{\pi }{2^{n+2}})=cos^2(\frac{\frac{\pi }{2^{n+1}}}{2})=\frac{cos(\frac{\pi }{2^{n+1}})+1}{2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+1}{2}

ainsi:
cos(\frac{\pi }{2^{n+2}})=\sqrt{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+1}{2}}

Maintenant je cherche une liaison entre:
\sqrt{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+1}{2}} et \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}} (2 apparaissant n+1 fois sous la racine)...  Mais en vain ..

Posté par
bernardo314re : Récurrence 04-10-21 à 23:18

il vaudrait mieux débuter à  1  et là j'ai l'impression qu'il y a un souci .

Posté par
Makoto03re : Récurrence 04-10-21 à 23:52

Oui, oui!! Désolée, je n'ai pas fait attention..
Je corrige:

Makoto03 @ 04-10-2021 à 22:06


\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}=cos(\frac{\pi }{2^{n+1}})

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}=2cos(\frac{\pi }{2^{n+1}})

Et:
Initialisation:  pour n=1: 2cos(/4)=2

Posté par
Makoto03re : Récurrence 05-10-21 à 00:05

cos(\frac{\pi }{2^{n+2}})=\sqrt{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+1}{2}}\\\Leftrightarrow 2cos(\frac{\pi }{2^{n+2}})=2\sqrt{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+1}{2}}\\ \Leftrightarrow 2cos(\frac{\pi }{2^{n+2}})=\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+1}\\ \Leftrightarrow 2cos(\frac{\pi }{2^{n+2}})=\sqrt{2\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+2}

Qu'est ce que je peux faire pour enlever le 2 devant la racine...

Posté par
Makoto03re : Récurrence 05-10-21 à 00:09

En fait il y a une erreur.. Je vais refaire toute la démonstration.

Posté par
Makoto03re : Récurrence 05-10-21 à 00:25

* Initialisation:
Pour n=1:
2cos(\frac{\pi }{4})=\sqrt{2} est vrai.
* Hérédité:
Soit l'entier n1 tel que:
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}=2cos(\frac{\pi }{2^{n+1}})
(Le nombre 2 apparaissant n fois sous la racine)

On montre que:
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}=2cos(\frac{\pi }{2^{n+2}})
(Le nombre 2 apparaissent n+1 fois sous la racine)


On a:

cos^2(\frac{\pi }{2^{n+2}})=cos^2(\frac{\frac{\pi }{2^{n+1}}}{2})=\frac{cos(\frac{\pi }{2^{n+1}})+1}{2}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+1}{2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+2}{4}

ainsi:
cos(\frac{\pi }{2^{n+2}})=\frac{\sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}+2}}{2}\\\Leftrightarrow2 cos(\frac{\pi }{2^{n+2}})=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}
Ce qui fallait montrer.

*Connclusion:
D'après le principe de récurrence: pour tout entier n1, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}=2cos(\frac{\pi }{2^{n+1}})
(Le nombre 2 apparaissant n fois sous la racine)


Concernant le signe de cos, il est positif puisque \frac{\pi }{2^{n+1}}]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[pour tout entier n1

J'espère qu'il n y a pas d'autres erreurs..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence 05-10-21 à 09:55

Bonjour,
Pour faciliter la rédaction en évitant de répéter des "Le nombre 2 apparaissant n fois sous la racine", je conseille de poser

u_n = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}} , en précisant une seule fois "Le nombre 2 apparaissant n fois sous la racine".
Puis écrire une relation de récurrence entre un+1 et un avant de traiter l'hérédité.

Posté par
Makoto03re : Récurrence 09-10-21 à 22:14

Salut!
Merci Sylvieg!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Récurrence 10-10-21 à 06:57

De rien, et à une autre fois sur l'île \;


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