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repère
Dans un repère,A(1;1).À tout reél x>1,on associe le pt M(x;0) et
on note N le pt où la droite (AM) coupe l'axe des ordonnées
1a)Calculer l'ordonnée de N
b)En déduire l'aire du triangle OMN
2)f f est la fonction défini sur )1;+00( par f(x)=x2/2(x-1)
a)Calculer f'(x) et étudier son signe
b)Dresser le tableau de variation de f
c)Quelle est la position de M telle que l'aire du triangle OMN soit minimale?
salut julie
calculons l'équation de la droite (AM)
elle a pour équation Y=aX+b et on cherche a et b
elle passe par les pts A et M et donc leurs coordonnées vérifient l'équation
de la droite
pour A 1=a+b
pour M 0=ax+b donc b=-ax
et donc 1=a-ax=a(1-x) donc a=1/(1-x) et b=-x/(1-x)=x/(x-1)
donc la droite a pour équation Y=X/(1-x)+x/(x-1) donc elle coupe l'axe
des ordonnées en X=0 soit Y=x/(x-1) qui l'ordonnée de N
ensuite le triangle rectangle en O a pour aire XM*YN/2 soit
x*x/2(x-1) =x²/2(x-1) comme par hasard c'est f(x)
ensuite je te laisse finir
bonne continuation
bye bye
A(1 ; 1)
M(X ; 0)
Equation de la droite (AM):
y = [1/(1-X)].x - [X/(1-X)]
1)
a)
Résoudre le système:
y = [1/(1-X)].x - [X/(1-X)]
x = 0
-> N(0 , X/(X-1))
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b)
Le triangle OMN est rectangle en O
Aire(OMN) = (1/2).OM.ON
|OM| = X
|ON| = X/(X-1)
Aire(AMN) = (1/2).X²/(X-1)
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2)
a et b)
f(x) = x²/(2(x-1))
f '(x) = (1/2).(2x.(x-1)-x²)/(x-1)²
f '(x) = (1/2).(2x²-2x-x²)/(x-1)²
f '(x) = (1/2).(x²-2x)/(x-1)²
f '(x) = (1/2).x(x-2)/(x-1)²
Si x > 1
f '(x) a le signe de x - 2
f '(x) < 0 pour x dans ]1 ; 2[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 2
f '(x) > 0 pour x dans ]2 ; oo[ -> f(x) croissante.
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c)
L'aire de OMN est minimum pour X = 2, soit pour |OM| = 2
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Sauf distraction.
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